Terminoloji: Yerel Olarak Karlı Grupların Düzgün Temsili.
İzin Vermek $G$ yerel olarak kârlı bir grup olmak.
Düzgün bir temsil, karmaşık bir temsildir ($V,\rho$) nın-nin $G$ öyle ki herhangi bir stabilizatör $v \in V$ açık.
Bunu gösterebiliriz ( $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ bir yalan grubudur ve NSS'ye sahiptir), bir (sonlu boyutlu) temsili $G$ süreklidir ancak ve ancak $\ker(\rho)$ açık.
Bu nedenle, sonlu boyutlarda sürekli temsiller pürüzsüzdür.
Ayrıca $$ \ker(\rho) = \cap_v \text{Stab}_G(v), $$ ve sağdaki kesişim sonlu boyutlu için sonlu olarak alınabilir $V$pürüzsüz, ayrıca sürekli anlamına gelir. Yani bunlar sonlu boyutlar için eşdeğerdir.
Peki ya sonsuz boyutlar? Ya diğerini ima ediyor mu?
Bu terminolojinin nedeni nedir? Sadece soruyorum çünkü bu çıkarımların pürüzsüz olması ve sürekli olması gerektiğini ve bunun tam tersi olması gerekmediğini düşünmeye koşulluyum!
Yanıtlar
Sanırım burada sürekli harita demek $P:G \times V \rightarrow V$V ayrık topoloji verildiğinde süreklidir. O zaman pürüzsüz, kelimenin tam anlamıyla tanım gereği kesinlikle sürekli anlamına gelir (P'nin altındaki tek bir vektörün ters görüntüsünü kontrol edin)
Ancak gruba bağlı olması gerektiği için diğer tarafın doğru olduğunu düşünmüyorum.
Zaten $G=\mathbb Z_p$ üzerinde hareket etmek $L^2(\mathbb Z_p)$ çeviri yoluyla süreklidir, ancak yerel olarak sabit olmayan işlevler yapmak kolaydır $L^2(\mathbb Z_p)$.
Ayrıca, pürüzsüz repn uzaylarının "topolojiye sahip olmadığını" veya "ayrık topolojiye sahip olduğunu" söylemek yanıltıcıdır. Aksine, sonlu boyutlu alt uzaylarının artan birliği olarak ifade edilmekten eş sınır topolojisine sahipler. Evet, böyle bir uzaydan gelen her doğrusal harita süreklidir ... bu nedenle topoloji hakkında yanlış açıklamalar doğrudan felakete yol açmaz. :)
Yani, en iyi durumda, her kompakt açılış için $K$ içinde $G$, alt uzay $V^K$ nın-nin $K$sabit vektörler sonlu boyutludur ve $V=\bigcup V^K$. Bu öyle değil$V=L^2(\mathbb Z_p)$, ama için doğru$V$ $K$-sonlu vektörler. Bunun gibi şeyler.