Tüm benzer Hermit matrisleri birimsel olarak benzer mi?

Question

Değildim $100\%$ Elde ettiğim şeyin doğruluğundan emin, bu yüzden doğrulama isteyebilir miyim?

---

İzin Vermek $A,B\in M_n(\Bbb C)$iki benzer Hermit matrisi olabilir. Sonra$A=P^{-1}BP$.

Spektral teoreme göre, her Hermit matrisi köşegenleştirilebilir, yani $A=U_1^{-1}DU_1$ ve $B=U_2^{-1}DU_2$, nerede $U_1,U_2\in M_n(\Bbb C)$ üniterdir ve $D=\left(\delta_{ij}\right)\in M_n(\Bbb C)$ çapraz st $\delta_{ii}\in\sigma(A)=\sigma(B)$.

Dan beri $A$ ve $B$ birimsel olarak benzerdir $D$, Yazmak istedim $A$ aşağıdaki biçimde: $$A=P^{-1}U_2^{-1}DU_2P$$ Sonra $U_2P=U_1\implies P=U_2^{-1}U_1$. İkisinden beri$U_1$ ve $U_2^{-1}$ üniter, $P$, iki üniter matrisin çarpımı olarak da üniterdir.

Bu sonuca göre soru :

Tüm benzer Hermit matrisleri birimsel olarak benzer mi?

Eğer bu geçerliyse, bir Hermit operatörünün ortonormal bir tabanda matris gösteriminin Hermitian bir matris olduğunun ispatında kullanılabilir mi? İfade, rastgele bir Hermitian matrisi verildiğinde, birinden onu köşegenleştirmesi istendiğinde açıktır. düşündüm$P$ bir birimdik tabandan diğerine geçiş matrisi olabilir.

---

Şimdiden teşekkür ederim!

Answer 1

@ StephenMontgomery-Smith tarafından doğrulandığı gibi, tüm benzer Hermit matrisleri gerçekten de birimsel olarak benzerdir.

Howerver, $P$ üniter olmak zorunda değildir, örneğin, $A=B=0$. Sonra her ters çevrilebilir$P$ yeterli olur.

---

Quora'da yayınladığım ve dün Aaron Dunbrack tarafından cevaplanan bu paralel soruyu görebilirsiniz .