Türetilmiş limitlerin / ön kaf kohomolojisinin fincan ürünü nasıl hesaplanır
Sonlu bir kategorim var $\mathcal{C}$bir functor ile birlikte $F \colon \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{GradedCommRings}$. Eğer$F_j$ dır-dir $j$- dereceli parça $F$sonra yazıyorum $H^i(\mathcal{C},F_j)$ için $i$diyagramın türetilmiş ters sınırı $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$değişmeli grupların. Eşdeğer olarak, bu$i$demetinin kohomolojisi $F_j$baktığım yerde $\mathcal{C}$ önemsiz Grothendieck topolojisine sahip site olarak.
Çeşitli hesapladım $H^i(\mathcal{C},F_j)$. Bunları monte ederken, bir fincan ürün yapısı olmalıdır.$H^i(\mathcal{C},F_j) \otimes H^{i'}(\mathcal{C},F_{j'}) \to H^{i+i'}(\mathcal{C},F_{j + j'})$. Bu ürün yapısını hesaplamak istiyorum.
Bildiğim tek yöntem, açık çözünürlükleri, tensör ürünlerini ve toplam kompleksleri içeren demet kohomolojisidir (bakınız [1]). Maalesef, net bir çözümüm yok$F$ veya $F \otimes F$: elle yapmak çok karmaşık görünüyor, özellikle de benim $F(c)$tipik olarak sonsuz şekilde üretilir. (Benim hesaplamamda$H^i(\mathcal{C},F_j)$ Bunu spektral diziler kullanarak aştım, ancak bunlar ürün yapısını belirsizleştiriyor.)
Aşağıdaki sorulara yönlendiriliyorum:
- Kafası öncesi kohomolojisine / türetilmiş limitlere sahip bardak ürünlerini hesaplamak için daha verimli bir yöntem bilen var mı?
- Değilse, yukarıda özetlenen bazı görevleri devralabilecek bilgisayar yazılımı var mı?
[1]: RD Swan. Demet kohomolojisindeki kap ürünleri, saf enjeksiyonlar ve projektif çözünürlüklerin yerine geçenler.
Yanıtlar
Demet (ve ön kafadaki) kohomolojisindeki kap ürünleri, hedefi değil, kaynağı (örneğin projektif model yapısında) çözerek hesaplamak genellikle kolaydır. Kaynağı bu şekilde çözmenin bir örneği için bkz.Yoneda eşleştirme, hiperkomoloji ve fincan ürünü
Söz konusu durumda, C üzerindeki zincir komplekslerinin ön katmanları kategorisi bir projektif model yapısı ile donatılabilir. İkincisi, açık bir projektif çözünürlüğü yazmak için kullanılabilen açık bir kofibrant değiştirme işleci içerir. Kofibrant değiştirme işlevi, tam olarak C ve Ob (C) -indeksli zincir kompleksleri üzerindeki zincir komplekslerinin ön katmanları arasındaki birleşim için uygulanan klasik çubuk yapısıdır.