Üçgende eksik açıyı bulun

Jan 07 2021

Aşağıdaki üçgende açının değerini arıyoruz $φ$.

Biz verilir $α=30, β=18, γ=24$ ve ayrıca $CD=BD$.

Bunu trigonometri (sinüs yasası) ile çözdüm ve gerekli açıyı 78 olarak buldum ancak bunu sadece Geometri ile çözmem gerekiyor.

Şimdiye kadar denediklerim:

Her şeyden önce, açı inşa edilebilir, bu da benim için geometrik bir çözüm olması gerektiği anlamına geliyor. Önce ABC üçgenini çizdim; kolay, çünkü 2 açısını biliyoruz. Kenarların uzunluklarıyla ilgilenmiyoruz. Daha sonra, taban olarak AC tarafı ve 24 derecelik açı ile, A noktasından bir ışın çizebiliriz.

O zamandan beri $CD=BD$DCB üçgeni ikizkenardır, bu nedenle D çizebileceğimiz CB'nin dik açıortayının üzerinde olmalıdır. Işının A ve dik açıortaydan kesişme noktası D noktasıdır.

FEB üçgeninden bu var

açı AFD = 108.

AFD üçgeninden,

$ADC+CDE+54+108=180$ yani $ADC+CDE=18$

Ayrıca buna sahibiz $24+ACD+ADC=180$

$ACB=132$

$132+φ+ACD=180$

$18+φ+54+ADC+2CDE=180$

Ben her zaman bir denklem eksikim.

Herhangi bir fikir?

Beklediğiniz için çok teşekkürler!

DÜZENLE:

ABD üçgeninde sinüs yasası:

$\frac {sin (φ+18)}{AD} = \frac {sin (54)}{BD}$

ACD üçgeninde sinüs yasası:

$\frac {sin (360-132-φ)}{AD} = \frac {sin (24)}{CD} = \frac {sin (24)}{BD}$

yani

$\frac {sin (φ+18)}{sin (228-φ)} = \frac {sin (54)}{sin (24)}$

dolayısıyla $φ=78$.

Yanıtlar

11 timon92 Jan 08 2021 at 18:53

Düzenli düşünün $30$-gen $X_1X_2X_3X_4X_5X_6X_7X_8X_9X_{10}X_{11}X_{12}X_{13}X_{14}X_{15}X_{16}X_{17}X_{18}X_{19}X_{20}X_{21}X_{22}X_{23}X_{24}X_{25}X_{26}X_{27}X_{28}X_{29}X_{30}$ ve uçağa yerleştirin, böylece $X_1 \equiv A$, $X_6\equiv B$, ve şu $X_2$ ve $C$ çizgi tarafından belirlenen farklı yarı düzlemlerde uzanmak $AB$. Belirtmek$K=X_2$, $L=X_3$, $M=X_4$, $N=X_5$, ve $X_{15}=R$.

Düzenli beşgen inşa et $KLOPQ$resimdeki gibi. Kanıtlayacağız$P\equiv C$.

Bunu not et $\angle QKA = \angle LKA - \angle LKQ = 168^\circ - 108^\circ = 60^\circ$. Dan beri$QK=KL=AK$bunu takip eden üçgen $AKQ$eşkenar. Özellikle,$AQ=KQ=QP$, yani $Q$ çevreleyen $AKP$. Açı takibi verimleri$\angle AQP = 360^\circ - 2\angle PKA = 360^\circ - 2(60^\circ + 36^\circ) = 168^\circ$yani SAS üçgeni ile $AQP$ uyumludur $KLM$, $MNB$ve simetri ile uyumludur $MOP$. Devam eden açı takibi,$\angle PAQ = 6^\circ$, ve sonunda $\angle BAP = \angle KAQ - \angle PAQ - \angle KAB = 60^\circ - 6^\circ - 24^\circ = 30^\circ$.

Öte yandan, uyumlu olarak $KLM$, $MNB$ ve $MOP$, sahibiz $MK=MP=MB$, yani $M$ çevreleyen $KPB$ ve bu nedenle $\angle BMP = 2\angle BKP = 2(\angle LKP - \angle LKB) = 2(72^\circ - 18^\circ) = 108^\circ$dolayısıyla $\angle PBM = 36^\circ$ ve $\angle PBA = \angle PBM - \angle ABM = 36^\circ - 18^\circ = 18^\circ$.

Dan beri $\angle BAP = 30^\circ$ ve $\angle PBA = 18^\circ$bizde var $P\equiv C$.

Şimdi kanıtlayacağız $R\equiv D$. Her şeyden önce biz var$\angle CAR = \angle BAR - \angle BAC = 54^\circ - 30^\circ = 24^\circ$. İkincisi, o zamandan beri$\angle LKC = 72^\circ = \angle LKR$bizde var $K$, $C$, $R$doğrudur. Dan beri$M$ çevreleyen $CKB$, sahibiz $\angle BCR = \frac 12 \angle BMK = \frac 12 \cdot 156^\circ = 78^\circ$. Ayrıca buna sahibiz$\angle RBC = \angle RBA - \angle CBA = 96^\circ - 18^\circ = 78^\circ$. Dan beri$\angle BCR = \angle RBC$bunu takip eder $R$ dik açıortay üzerinde yatıyor $CB$ile birlikte $\angle CAR = 24^\circ$ anlamına gelir $R\equiv D$. Cevap şöyledir:$$\varphi = \angle BCD = \angle BCR = 78^\circ.$$

4 EdwardPorcella Jan 11 2021 at 05:45

Dan beri $\angle DAB=54^o$üzerinde düzenli bir beşgen inşa edersek $AD$, sonra $AB$ ikiye bölmek $\angle DAG=108^o$, ve $AB$ genişletilmiş $K$ çember üzerinde merkezden geçer $N$.

Uzat $AC$ -e $I$, $DB$ -e $L$ve katıl $IK$, $KL$, $LA$, $IL$, ve $DG$.

Döngüsel dörtgen beri $AIKL$ dik açıya sahip $I$bu bir dikdörtgendir. Bu nedenle$\angle AIL=\angle IAK=30^o$, $\angle LAK=60^o$, ve$$\angle LAG=\angle LAK-\angle GAK=60^o-54^o=6^o=\angle LDG$$Ve düzenli beşgenden beri $\angle ADG=36^o$ve OP notları gibi $\angle ADE=18^o$, sonra $\angle LDG=\angle ADC$.

Bu nedenle$$\angle CDB=\angle ADG-2\angle LDG=36^o-2\cdot6^o=24^o$$ve$$\angle DCB=\phi=\frac{180^o-24^o}{2}=78^o$$