Z | Y ~ Bin (p, y) ve Y ~ Poisson (L) ise Z ~ Poisson (p * L)? [çiftleme]

Question

Bu sorunun daha önce cevaplanıp cevaplanmadığını kontrol ettim ama notasyondan dolayı görmek zor. Aşağıdaki iki karavanı tanımlayan bir makale okuyorum$$ z \mid y \sim Binomial(\pi, y) \\ y \sim Poisson(\lambda) $$ daha sonra (entegrasyon ve Bayes Kuralı ile) şu sonuca varır: $$ z \sim Poisson(\pi \cdot \lambda) \\ y - z \sim Poisson( (1 - \pi)\cdot \lambda) $$

Kağıt üzerinde çalışmayı denedim ama eğitimli bir istatistikçi olmadığım için nerede yanlış yaptığımı bilmiyorum. Türetmek istersem$z \sim Poisson(\pi\lambda)$, sonra koşullu olasılığı, yani $$ p(z) = \int_y p(z, y) \,\, dy $$ nerede $p(z, y)$ortak olasılıktır. Bunu genişletiyorum, ben var$$p(z) = \int_y {y\choose z} \pi^z (1 - \pi)^{(y - z)} \frac{e^\lambda \lambda^y}{y!} \, \, dy $$ ama bir şekilde aşağıdaki denkleme ulaşmam gerektiğini tahmin ediyorum $$p(z) = \frac{e^{\pi\lambda} (\pi\lambda)^{z}}{z!}$$ancak bu formu elde etmek için yukarıdaki integrali değiştiremedim. Bunun mümkün olup olmadığından bile emin değilim.

Answer 1

Bu, oldukça standart bir dağıtım teorisinden kaynaklanmaktadır. Tanımlamak$Y_1 \sim \text{Poisson}(\pi \lambda)$ ve $Y_2 \sim \text{Poisson}((1-\pi) \lambda)$ bağımsız olarak ve izin ver $Y = Y_1 + Y_2$ ve $Z = Y_1$. Ardından aşağıdaki gerçekler hızlı bir şekilde türetilir:

• $Y \sim \text{Poisson}(\lambda)$ (moment oluşturma fonksiyonu hesaplanarak kontrol edilebilir).

• $[Z \mid Y = y] \sim \text{Binomial}(\pi, y)$ çünkü bağımsızlığı kullanarak,

$$ f(z \mid y) = \frac{\Pr(Y_1 = z, Y_2 = y - z)}{\Pr(Y = y)} = \binom{y}{z} \pi^z (1 - \pi)^{y-z} $$

• Tanım gereği doğrudur $Y - Z = Y_2 \sim \text{Poisson}((1-\pi) \lambda)$ ve şu $Z = Y_1 \sim \text{Poisson}(\pi \lambda)$, istediğiniz sonuçlar bunlar.

Dolayısıyla var $Z$ ve $Y$ ancak ortak dağıtım, koşullarınıza göre benzersiz bir şekilde karakterize edildiğinden $(Z,Y)$bunun herkes için geçerli olduğu sonucu çıkar $Z$ ve $Y$ koşullarınızı tatmin etmek.

Answer 2

Biraz cebir ama işte benim denemem

İçermeyen terimleri çıkardıktan sonra yoğunluğun ifadesi $y$ vardır

$$ p(z) = \pi^z \exp(\lambda) \sum_{z \leq y} \binom{y}{z} (1-\pi)^{y-z} \dfrac{\lambda^y}{y!}$$

$y!$ binom katsayısından iptal eder

$$ = \pi^z \dfrac{\exp(\lambda)}{z!} \sum_{{z \leq y}} (1-\pi)^{y-z} \dfrac{\lambda^y}{(y-z)!}$$

Ve endeks sadece $0\leq y-z$o zaman izin ver $k=y-z$

$$ = \pi^z \dfrac{\exp(\lambda)}{z!} \sum_{k} (1-\pi)^{k} \dfrac{\lambda^{k+z}}{(k)!}$$

Daha fazla basitleştirme

$$ = (\lambda\pi)^z \dfrac{\exp(\lambda)}{z!} \sum_{k} (1-\pi)^{k} \dfrac{\lambda^{k}}{(k)!}$$

Toplamın bir ifade olduğunu fark edeceksiniz $\exp(\lambda - \lambda \pi)$

Ve böylece sararız

$$ p(z) = (\lambda \pi)^z \dfrac{\exp(-\pi\lambda)}{z!}$$

Bunun anlamı olduğuna inanıyorum

$$z \sim \operatorname{Poisson}(\pi \lambda)$$

Answer 3

Almak $E(Z)$ ve $Var(Z),$bu, rastgele değişkenlerin rastgele bir toplamı olarak görülebilir. Özellikle,$Z$ rastgele bir sayının toplamıdır $Y$ Her biri başarı olasılığına sahip Bernoulli rastgele değişkenlerinin $\pi.$

İşte 100.000 simüle edilmiş gerçekleştirmenin histogramı $Z,$ kullanma $\lambda = 20, \pi = 0.4$ kesin olasılıklar (kırmızı dairelerin merkezleri) ile birlikte $\mathsf{Pois}(8).$

set.seed(2020)
lam = 20;  pp = 0.4
y = rpois(10^5, lam)
z = rbinom(10^5, y, pp)
summary(z)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  0.000   6.000   8.000   8.001  10.000  22.000 

mx = max(z);  cutp = (-1:mx)+.5
hdr = "Histogram of Simulated Z with Density of POIS(8)"
hist(z, prob=T, br=cutp, col="skyblue2", main=hdr)
 points(0:mx, dpois(0:mx, pp*lam), col="red")

Notlar: (1) @aleshing, ayrılık nedeniyle integralin bir toplam olarak ele alınması gerektiği konusunda doğrudur.

(2) 'de R' kodu: kullanılamaz piiçin$\pi$o R. If bir saklıdır sabit olduğundan ydönüş olur$0,$ rbinom geri dönmek için programlandı $0.$

(3) İlgilenilmesi durumunda: Rastgele değişkenlerin rastgele toplamına ilişkin UNL kurs broşürü .