Mesure de risque de variance convexe
J'espère que vous pourrez m'aider avec cette question qui me pose vraiment problème. La variance est-elle une mesure de risque convexe ? Je suppose que non, mais je trouve vraiment difficile de trouver un contre-exemple.
Voici mes pensées. J'ai essayé de trouver un exemple où:$var(\lambda X+(1-\lambda)Y))>\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$. Je sais que$var(\lambda X+(1-\lambda) Y)= \lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)cov(X,Y)$ $=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)$.
Maintenant, si la corrélation est maximale, auquel cas$corr(X,Y)=1$alors:$\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda(1-\lambda)sd(X)sd(Y)=(\lambda sd(X)+(1-\lambda)sd(Y))^2$.
Mais je ne trouve toujours aucun exemple où cela est supérieur à$\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$.
Pouvez-vous me donner des indices? Je l'apprécie beaucoup.
Réponses
Considérons votre cas de corrélation maximale. Vous essayez de trouver des valeurs telles que
$$(\lambda \sigma_x+(1-\lambda)\sigma_y)^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$
ou
$$\lambda^2 \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)+(1-\lambda)^2\sigma_y^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$
ou
$$\lambda(\lambda-1)\sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)\sigma_y^2>0 $$
ou
$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2)+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)>0 $$
ou
$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x-\sigma_y)^2>0 $$
ce qui n'est clairement jamais vrai pour aucun$0\leq\lambda\leq 1.$Parce que LHS est le plus grand dans le cas de corrélation maximale :
$$Var(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda Var( x)+(1-\lambda)Var(y)$$
et la variance est une mesure de risque convexe.