Transformée de Fourier de $L^1$ fonction dont la dérivée est dans $L^1$ et disparaît à l'infini est dans $L^1$

Question

$f \in L^1(\mathbb{R})$ est une fonction différentiable telle que $f' \in L^1(\mathbb{R}) \cap C_0(\mathbb{R})$, prouvez que la transformée de Fourier de $f$ c'est noté $\hat{f}$ est dans $L^1 (\mathbb{R})$

Je sais si $f,f'\in L^1(\mathbb{R})$, puis $\widehat{f'}(t)=it\hat{f}(t)$mais je n'ai aucune idée de comment utiliser la condition selon laquelle le dérivé disparaît à l'infini. Toutes les idées seront utiles.

Answer 1

Deux indices:

Utilisez le fait que $f'$ est tenu de montrer que $f' \in L^2$ et l'utilisation de Plancherel.

Notez que $f'$ est borné et depuis$|f'|^2 \le \sup |f'| |f'|$ on voit ça $f' \in L^2$. Puis Plancherel montre que$\hat{f'} \in L^2$. Notez que$\hat{f'}(\omega) = i\omega \hat{f(\omega)$.

Utilisez Cauchy Schwartz et notez que pour $\omega \neq 0$ nous avons $\hat{f}(\omega) = \omega \hat{f}(\omega) \cdot {1 \over \omega}$.

Pour $\omega \neq 0$ nous avons $|\hat{f}(\omega)| = |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|}$ et Cauchy Schwartz donne $\int|\hat{f}| = \int |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega = \int |\hat{f'}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega \le \| \hat{f'}\| \| \omega \mapsto {1 \over |\omega|} \|$.