Analog tak terbatas dari kategori Hausdorff yang ringkas
Baru-baru ini saya melalui pertanyaan mathoverflow ini menyadari artikel Codensity dan ultrafilter monad oleh Tom Leinster. Di sana ia menunjukkan bahwa ultrafilter monad pada kategori tersebut$\mathrm{Set}$ muncul dari adjunction $$ \mathrm{Set} \rightleftarrows \mathrm{Fun}(\mathrm{FinSet}, \mathrm{Set})^{\mathrm{op}},$$di mana adjoint kiri diberikan oleh coYoneda-embedding (yang memiliki adjoint kanan diikuti oleh konstruksi atau teorema adjoint functor). Selain itu, diketahui bahwa kategori ruang Hausdorff yang padat bersifat monadik$\mathrm{Set}$ dan bahwa monad yang sesuai adalah monad ultrafilter juga, yang menunjukkan kategori ruang Hausdorff yang padat sebagai aljabar di atas monad ini.
Pindah ke $\infty$-kategori, itu wajar untuk diganti $\mathrm{Set}$ oleh $\infty$-kategori $\mathcal{S}$ruang (atau animae, seperti beberapa menyebutnya). Ini memiliki sub-$\infty$-kategori $\mathcal{S}^{\mathrm{fin}}$dari ruang berhingga (yaitu subkategori cocomplete terhingga terkecil yang berisi titik). Dengan menggunakan coYoneda embedding dan teorema adjoint functor, kita mendapatkan lagi sebuah adjunction$$\mathcal{S}\rightleftarrows \mathrm{Fun}(\mathcal{S}^{\mathrm{fin}}, \mathcal{S})^{\mathrm{op}}.$$Bisakah seseorang menggambarkan monad dan aljabar yang dihasilkan di atasnya? Apakah itu diketahui$\infty$-kategori? Selain itu, seseorang mungkin bertanya tentang hubungannya dengan orang lain$\infty$-kategori, seperti ruang tak terbatas atau ruang padat.
Sunting: Seperti yang ditunjukkan Denis dan Dustin, jauh lebih alami untuk mengganti $\mathrm{FinSet}$ oleh $\infty$-kategori $\pi$Spasi terbatas (bukan $\mathcal{S}^{\mathrm{fin}}$), yaitu ruang yang gugus homototinya terkonsentrasi dalam banyak derajat terhingga dan berhingga di sana.
Jawaban
Itu pertanyaan yang bagus! Saya pikir Barwick dan Haine telah memikirkan lebih banyak tentang ini, dan mungkin mereka sudah tahu jawabannya? Apa yang saya katakan di bawah ini pasti mereka ketahui. Juga berhati-hatilah karena saya telah menulis di bawah ini dalam aliran kesadaran, tidak begitu tahu ke mana perginya ketika saya mulai.
Saya akan menulis "anima" untuk apa yang disebut berbagai jenis homotopi / spasi /$\infty$-groupoids / ..., dan menunjukkan mereka $\infty$-kategori $\mathrm{An}$($=\mathcal S$). Kami juga dapat mempertimbangkan$\infty$-kategori $\mathrm{CondAn}=\mathrm{Cond}(\mathrm{An})$dari anima kental (omong-omong, ini juga animasi dari kategori set kental). Jika$X\in \mathrm{CondAn}$ adalah anima kental, lalu $\pi_0 X$ adalah satu set kental, dan untuk titik mana pun $x\in X$, seseorang dapat mendefinisikan kelompok homotopi $\pi_i(X,x)$ untuk $i\geq 1$, yang merupakan kelompok kental (abelian untuk $i\geq 2$). Sedikit lebih umum, jika$S$ adalah set tak terbatas dan $g: S\to X$ adalah peta apapun, seseorang dapat mendefinisikan objek grup $\pi_i(X,g)\to S$ di set kental $S$, yang seratnya melebihi apapun $s\in S$ adalah $\pi_i(X,g(s))$. Maka peta anima terkondensasi adalah kesetaraan jika dan hanya jika itu menginduksi kesetaraan pada$\pi_0$ dan semua $\pi_i$ untuk $i\geq 1$ (di semua titik dasar, termasuk kelompok titik dasar yang tak terbatas).
Jadi, seperti dalam perkiraan yang sangat kasar anima $X$ adalah sesuatu seperti koleksinya $\pi_0 X,\pi_1 X,\pi_2 X,\ldots$dari himpunan, kelompok, dan kelompok abelian, anima kental adalah sesuatu seperti kumpulan himpunan kental, kelompok kental, dan kelompok abelian kental. Secara khusus, sudah$\pi_0 X$bisa menjadi ruang topologi yang menarik seperti manifold, jadi ruang. Inilah sebabnya mengapa kita tidak mengatakan "ruang terkondensasi", karena akan tampak seperti lupa pada himpunan terkondensasi harus melupakan struktur "ruang", tetapi melupakan struktur "homotopi abstrak".
Sekarang berikut ini sepertinya sudah jelas "$\infty$-Ruang Hausdorff kompak kategoris ":
Definisi. Anima kental$X$ adalah "Hausdorff kompak" jika $\pi_0 X$ dan semua $\pi_i X$ untuk $i\geq 1$ adalah Hausdorff yang padat.
Ingatlah di sini bahwa ruang Hausdorff yang padat menyatu sepenuhnya menjadi set yang padat. Pernyataan kedua berarti lebih tepatnya untuk semua himpunan yang tak terbatas$S$ dengan peta $g: S\to X$, objek grup $\pi_i(X,g)\to S$ di set kental $S$adalah Hausdorff yang padat. (Ini sedikit lebih kuat daripada hanya menanyakannya pada semua serat.)
Jadi dalam kasus ini $\pi_0 X$ adalah ruang Hausdorff yang padat, $\pi_1 X$ adalah grup Hausdorff yang kompak, dan $\pi_2 X,...$ adalah kelompok abelian Hausdorff yang kompak.
Ternyata ada karakterisasi yang bagus dari anima kental "Hausdorff kompak". Sebenarnya, ada gagasan teoretis topos umum tentang objek "koheren" = "qcqs". Ini biasanya dipelajari untuk$1$-topoi, tetapi mudah digeneralisasikan $n$-topoi. Pada dasarnya, sebuah objek adalah quasicompact jika ada penutup yang mengakui sub-penutup yang terbatas; itu quasiseparated jika diagonal quasicompact; itu dipisahkan 2-kuasis jika diagonal dipisahkan; dll; dan koheren = quasicompact dan$n$-dipisahkan untuk semua $n\geq 1$. Kemudian set kental yang koheren merupakan ruang Hausdorff yang kompak, dan:
Dalil. Anima kental yang koheren persis seperti anima kental "Hausdorff kompak".
Catatan: Dalam a $1$-topos, objek yang koheren sering kali sesuai dengan objek yang disajikan secara halus, tetapi hal ini gagal secara dramatis $\infty$-topoi, di mana koherensi dan presentasi terbatas adalah dua kondisi finiteness yang sangat berbeda. Dalam kasus anima, koherensi berarti kelompok homotopi berhingga, sedangkan presentasi berhingga berarti dihasilkan di bawah titik-titik hingga titik; ini adalah pengertian yang sangat berbeda. Seperti yang telah didiskusikan dalam komentar, kondisi "kelompok homotopi hingga" tampaknya lebih relevan untuk pertanyaan tersebut.
Sekarang kami memiliki gagasan yang baik tentang "$\infty$-categorical compact Hausdorff space ". Namun pertanyaannya dimulai dari sudut pandang yang berbeda, yaitu seperti mencoba mendeskripsikannya melalui monad on anima. Kabar baiknya adalah:
Dalil. Anima kental Hausdorff kompak bersifat monadik di atas anima.
Hal ini dapat disimpulkan dari Barr-Beck-Lurie, meskipun membutuhkan kerja keras.
Itu tetap untuk memahami monad (dan melihat apakah itu dapat digambarkan sebagai monad codensity). Monad mengambil anima$X$ untuk $\lim_{X\to Y} Y$ tempat diagram berada di atas semua peta $X$ ke anima kental Hausdorff yang kompak $Y$: Ini menghitung adjoint kiri yang diinginkan. Asumsikan saat ini bahwa kategori diagram itu kecil; maka batas ini masih merupakan anima kental Hausdorff kompak: Anima kental Hausdorff kompak stabil di bawah semua batas kecil, karena stabil di bawah batas terbatas dan semua produk kecil. Sekarang kategori diagram sebenarnya tidak kecil, jadi kita harus berdebat sedikit lebih hati-hati untuk melihat keberadaan adjoint kiri.
Jika $X$sebenarnya adalah satu set, maka seseorang dapat menunjukkan bahwa adjoint kiri masih sama seperti biasanya, yang diberikan oleh pemadatan Stone-Čech. Ini sama dengan$\lim_{X\to Y} Y$ tempat kami membatasi $Y$menjadi himpunan yang terbatas. Pada akhirnya, kemungkinan untuk membatasi$Y$ hingga himpunan terbatas di sini - yang berasal dari fakta bahwa pemadatan Stone-Čech benar-benar terputus, dan ruang Hausdorff kompak yang benar-benar terputus pro-finit - adalah hal yang memungkinkan untuk mendeskripsikan ruang Hausdorff yang padat dalam istilah codensity monad untuk $\mathrm{FinSet}\hookrightarrow \mathrm{Set}$.
Kasus baru yang menarik pertama adalah $X=K(G,1)$, untuk beberapa grup terpisah $G$. Mengabaikan kelompok homotopi yang lebih tinggi, kami kemudian tertarik pada kelompok kompak universal$H$ dengan peta $G\to H$. Secara umum, ini dikenal sebagai "pemadatan Bohr"$G$. Jika$G=\mathbb Z$, lalu kami mencari grup ringkas gratis pada satu generator. Ini tentu abelian, dan kemudian seseorang dapat menggunakan dualitas Pontrjagin untuk benar-benar menentukan ini (saya harap saya tidak mengacaukannya): Ambil$\prod_{\mathbb R/\mathbb Z}\mathbb R/\mathbb Z$, produk dari $\mathbb R/\mathbb Z$ (sebagai set diskrit) banyak salinan lingkaran $\mathbb R/\mathbb Z$, dengan elemen "diagonal" tautologisnya, dan ambil subgrup tertutup yang dihasilkan oleh elemen ini.
Apa yang kita lihat dari contoh itu sudah untuk anima $X=K(\mathbb Z,1)$ (alias lingkaran), monad mengambil nilai yang sangat rumit (perhatikan bahwa kami mengabaikan gugus homotopi yang lebih tinggi, tetapi perhitungan $\pi_1$benar), yang secara khusus tidak dengan sendirinya terputus total, dan karenanya tidak dapat ditulis sebagai batas anima terbatas. Jadi saya menyimpulkan bahwa ini "$\infty$-Ruang Hausdorff yang kompak kategoris "tidak dapat dijelaskan dengan cara pertanyaan dimulai.
Ini, sekali lagi, menimbulkan pertanyaan apa aljabar untuk monad dalam pertanyaan itu!
Yah, saya tidak tahu jawaban yang tepat, tetapi kita juga dapat mempertimbangkan "Hausdorff kompak yang benar-benar terputus" anima kental, sekarang menanyakan itu semua $\pi_i X$adalah Hausdorff kompak yang benar-benar terputus. Begitu$\pi_0 X$ adalah himpunan yang tak terbatas, $\pi_1 X$ adalah kelompok yang tak terbatas, dan $\pi_2 X,\ldots$ adalah kelompok abelian yang tak terbatas.
Dalil. "Hausdorff kompak yang benar-benar terputus$n$-potonganima "setara dengan kategori-Pro $n$anima terpotong dengan kelompok homotopi hingga.
Seseorang juga bisa melewati batas $n\to \infty$dalam beberapa hal, tetapi harus berhati-hati karena ini tidak benar-benar bolak-balik dengan masuk ke kategori Pro. Memang benar bahwa setiap Hausdorff kompak yang benar-benar terputus memadatkan anima$X$ memetakan secara isomorfis ke $\lim_{X\to Y} Y$ dimana $Y$ berjalan di atas anima dengan kelompok homotopi terbatas.
Sekarang Hausdorff kompak yang benar-benar terputus anima kental tidak monadik lagi di atas anima, tetapi functor pelupa masih mendeteksi isomorfisme, dan memiliki adjoint kiri, sehingga menimbulkan monad pada anima, dan benar-benar terputus kompak Hausdorff anima kental tertanam sepenuhnya setia ke aljabar di atas monad ini. Dan monad ini, pada paragraf terakhir, dapat diidentifikasikan dengan codensity monad untuk dimasukkan$\mathrm{An}^{\mathrm{coh}}\hookrightarrow \mathrm{An}$ dari koheren anima (= anima dengan kelompok homotopi hingga) menjadi semua anima.
Jadi, jika saya tidak mengacaukannya, maka kategori aljabar di atas monad ini adalah semacam lambung anima kental Hausdorff kompak yang benar-benar terputus (termasuk semua realisasi geometris yang terpecah pada anima yang mendasarinya); lambung ini terkandung dalam anima padat Hausdorff kompak.
Singkatnya, jika seseorang mengartikan "anima hingga" dalam pertanyaan itu sebagai "kelompok homotopi hingga", maka hal ini memunculkan monad yang aljabanya terletak di suatu tempat di antara anima padat Hausdorff yang terputus total, dan semua anima padat Hausdorff padat. Saya pikir mereka pasti memasukkan semua yang itu$\pi_0 X$ adalah Hausdorff kompak sewenang-wenang, tapi $\pi_i X$ untuk $i\geq 1$ benar-benar terputus.
Hmm ... OK, izinkan saya membuat yang berikut ini:
Dugaan: Aljabar di atas monad codensity untuk $\mathrm{An}^{\mathrm{coh}}\hookrightarrow \mathrm{An}$ persis seperti anima kental Hausdorff yang kompak $X$ untuk itu semua $\pi_i X$ untuk $i\geq 1$ benar-benar terputus.
Saya bersedia untuk menduga ini karena alasan berikut: sementara seseorang dapat memperoleh semua ruang Hausdorff kompak sebagai quotients dari himpunan profinite oleh relasi ekivalen tertutup, hal seperti ini tidak terjadi pada grup: sebuah hasil bagi dari grup profinite oleh relasi ekivalen tertutup masih kelompok yang tak terbatas.