2 domande sull'anello$\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$
Non sono in grado di risolvere questa particolare domanda in Teoria degli anelli. Questo è stato chiesto in un esame di master per il quale mi sto preparando.
Permettere$A =\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$.
(a) Dimostralo$A$è il prodotto diretto di due domini interi.
(b) è l'anello$A$isomorfo a$\mathbb Q[X]/(X^{3}+1)$?
posso sapere da$X^{3}-1$che ora gli elementi sarebbero$ax^2+bx+c$,$a,b,c$appartenente al$\mathbb{Q}$. Ma non ho idea dei prodotti diretti di quale dominio integrale farà questo anello.
Anche per il 2 ° ho problemi a definire una mappa come$X^3$agirà come -1 nel 2° squillo. Non credo mappa come$\phi( ax^2+bx+c )=px^2 +qx+r$funzionerebbe come questa mappa non lo è$1-1$.
Quindi, qualcuno può dirmi come dovrei affrontare entrambi questi problemi.
Risposte
SUGGERIMENTO :
(a) Usa il teorema cinese del resto , che lo dice per un anello$A$e ideali$\mathfrak a,\mathfrak b$di$A$tale che$\mathfrak a+\mathfrak b=(1)$,$A/\mathfrak{ab}\cong A/\mathfrak a\times A/\mathfrak b$. Inoltre, un anello quoziente$\mathbb Q[X]/(f(X))$è un dominio integrale se e solo se$(f(X))$è un ideale primo se e solo se$f(X)$è irriducibile (poiché$\mathbb Q[X]$è un PID).
(b) rivendico$\mathbb Q[X]/(X^3+1)\to\mathbb Q[X]/(X^3-1):X\mapsto-X$è un isomorfismo. Controlla tutti gli assiomi.
(a) Come affermato da Kenta S, da allora$1=(x^2-x+1)+x(x-1)$e$(x^2-x+1)(x-1)=x^3-1$, noi abbiamo$\langle x^2-x+1\rangle+\langle x-1\rangle=\mathbb Q[x]$e così$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$dal teorema cinese del resto. Chiaramente,$x^2-x+1$e$x-1$sono irriducibili. Quindi,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle$e$\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$sono domini.
(b) Chiaramente,$\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q\cong\mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle$. Anche,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle$di$x\to -x$. Quindi,$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^3+1\rangle$.