A dimostrarlo $A \cup B$ è connesso

Question

Permettere $A,B \subseteq \mathbb{R}^n$ essere collegati sottoinsiemi di $\mathbb{R}^n$ con $A \cap B \neq \emptyset$. Prova che$A \cup B$ è connesso

Ecco cosa ho finora:

Assumetelo per ragioni di contraddizione $A \cup B$non è connesso. Allora abbiamo per definizione quello$U$ e $V$ sono insiemi relativamente aperti non vuoti in $A \cup B$ con $U \cap V = \emptyset$ e $A \cup B = U \cup V$. Sappiamo anche che come$U$ e $V$ sono insiemi relativamente aperti non vuoti in $A \cup B$, $U$ e $V$ tale che $U \subseteq A \cup B$ e per qualche open set $C$ quello $U = (A \cup B) \cap C$ e allo stesso modo $V \subseteq A \cup B$ e per qualche open set $D$ noi abbiamo $V = (A \cup B)\cap D$.

Questo è più o meno tutto quello che ho dai dati, dobbiamo arrivare a qualche contraddizione, ma non sono sicuro da dove verrà.

Se qualcuno ha qualche suggerimento, non voglio che la soluzione a questo problema sia solo un posto verso cui dirigersi.

Answer 1

Suggerimento : scegli un punto$p\in A\cap B$. Se$A\cup B$ è un'unione di due insiemi aperti disgiunti, diciamo $U,V$, poi $p$ deve mentire in uno di loro, diciamo, $U$. Prova che$U\cap A$ è aperto e chiuso $A$.

Answer 2

Userò questa caratterizzazione dello spazio connesso: uno spazio topologico $X$ è connesso se e solo se ogni funzione continua $f : X \to \{0,1\}$ è costante.

Supponiamo $A$ e $B$ sono spazi topologici connessi e quello $A\cap B \neq \varnothing$. Permettere$x\in A\cap B$.

Permettere $f : A\cup B \to \{0,1\}$essere continuo. Quindi le sue restrizioni$f_A$ per $A$ e $f_B$ per $B$sono anche continui. Come$A$ è connesso e $x \in A$, $f_A$ è costante e richiede solo $f(x)$come valore. Allo stesso modo,$f_B$ è costante e richiede solo $f(x)$come valore. Quindi,$f$ è costante e $A\cup B$ è connesso.