Base $7$è la base all'indietro $16$

Question

Trova la somma di tutti gli interi positivi tale che la loro espressione in base$7$digits è il contrario della loro espressione in base$16$cifre. Esprimi la tua risposta in base$10$.

Ho provato a esprimere le cifre come$d_1$ $d_2$... e fare equazioni separate ma non ha funzionato. Aiuto!

Answer 1

In particolare, questi numeri hanno al massimo tante cifre in base sette quante ne hanno in base sedici. Quindi se$16^{k-1} \leq n < 16^{k}$è un tale intero, quindi$n$ha al massimo$k$cifre in base$7$, Così$n < 7^k$. così$16^{k-1} < 7^k$. Questo forza$k \leq 3$. Per ipotesi, lo sai$n$ha solo come base 16 cifre$0,1,2,3,4,5,6$.

I numeri a una cifra contribuiscono$21$.

Per i numeri a due cifre: scrivi$n$come$ab$in base$16$. Quindi$16a+b=7b+a$, Così$15a=6b$cioè$5a=2b$, Così$a=2,b=5$è l'unica soluzione, es$n=37$.

Per i numeri a tre cifre: scrivi$n$come$abc$, poi$256a+16b+c=49c+7b+a$, così$255a+9b=48c$, quindi$85a+3b=16c$. Come$a > 0$,$c > 5$Così$c=6$e$3|85a$, Così$16c=85a+3b > 255$, Così$c > 6$, impossibile.

Così finalmente è$21+37=58$.

Answer 2

Se$n=a_k 16^k + \ldots + a_1 16+ a_0= a_0 7 ^k + \ldots a_{k-1}7 + a_k$, insieme a$a_k \geq 1$, poi da$n < 7^{k+1}$noi abbiamo$16 ^k < 7^{k+1}$. Ciò significa che$k\leq 3$(può verificarlo manualmente). Questo limita notevolmente lo spazio di ricerca. Inoltre, se l'insieme dei coefficienti in entrambe le espansioni è lo stesso, allora ciascuno$a_i \leq 6$. questo rende il problema suscettibile di una ricerca su computer se ciò è sufficiente per i tuoi scopi.

Per ridurre ulteriormente il problema, se$a_k = 2$, poi$2 \cdot 16^k \leq n < 7^{k+1}$che dà$k\leq 2$in questo caso. Questo dovrebbe essere abbastanza facile da codificare.