Calcolo di Schubert

Question

Permettere $X = Gr(2,4)$ il complesso Grassmanniano di $2$-aerei in $V = \Bbb C^4$ e $S$ il fascio tautologico, $Q$il quoziente bundle. L'anello di coomologia è generato da$c_1(S), c_2(S)$ con le relazioni $c(S)c(Q) = 1$, derivante dalla breve sequenza esatta di fasci di vettori $0 \to S \to V \to Q \to 0$.

Uno dovrebbe ottenere $c_1(S)^4 = 1$puramente da queste relazioni ma non sono in grado di farlo. Qualcuno può spiegare come farlo?

Answer 1

Prima di tutto, $c_1(S)^4 = 2$, non 1. Il calcolo stesso è abbastanza semplice. Lasciatemi indicare$a_i := c_i(S)$, $b_i = c_i(Q)$. Allora le relazioni sono$$ a_1 + b_1 = a_2 + a_1b_1 + b_2 = a_1b_2 + a_2b_1 = a_2b_2 = 0. $$ Il primo dà $b_1 = -a_1$, il secondo dà $b_2 = a_1^2 - a_2$e gli ultimi due danno $$ a_1^3 = 2a_1a_2, \qquad a_1^2a_2 = a_2^2. $$ Si ottiene una combinazione delle ultime due uguaglianze $ a_1a_2^2 = a_1(a_1^2a_2) = (a_1^3)a_2 = 2a_1a_2^2, $ quindi $a_1a_2^2 = 0$. Ciò significa che l'anello di coomologia è esteso$\mathbb{Z}$ di $1$, $a_1$, $a_2$, $a_1a_2$, $a_2^2$, e quello $$ a_1^4 = 2a_2^2 $$ che si traduce nell'uguaglianza richiesta $c_1(S)^4 = 2$.