Coefficienti DFT significato?

Sep 18 2020

Quali sono? Qual è un modo sensato per interpretare i coefficienti (e cosa non lo è)? Per porre specifiche:

I coefficienti DFT descrivono le frequenze presenti in un segnale
Descrivono le frequenze sinusoidali della sorgente

Uno dei casi precedenti è vero?

Risposte

2 robertbristow-johnson Sep 18 2020 at 09:05

Nella sua forma più fondamentale, il DFT riguarda l'adattamento di un insieme di funzioni di base a un dato insieme di dati campionati. Le funzioni di base sono tutte funzioni sinusoidali, espresse come esponenziale complesso con un esponente puramente immaginario. Utilizzando la convenzione di ridimensionamento più comune, ogni funzione di base, senza il suo coefficiente di scala, è:

$$ g_k[n] \triangleq \tfrac1N e^{j \omega_k n} $$

Per il DFT:

$$ \omega_k = \frac{2 \pi k}{N} $$

e le funzioni di base si sommano come

$$\begin{align} x[n] &= \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] \ g_k[n]\\ \\ &= \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] \ \tfrac1N e^{j \omega_k n} \\ \\ &= \tfrac1N \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{N} n} \\ \end{align}$$

È davvero facile da risolvere per i coefficienti:

$$\begin{align} X[k] &= \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] \ e^{ -j \frac{2 \pi k}{N} n} \\ \end{align}$$

1 DanBoschen Sep 18 2020 at 19:19

Aggiornamento: nella mia versione precedente di questa risposta sono stato preso dall'espressione $e^{j\omega t}$non può essere chiamato "sinusoidale", (e ora posso in modo interessante iniziare a vedere due lati di come potrebbe essere o non può essere grazie ai commenti di RBJ; a seconda della definizione, di cui non riesco a trovare una fonte coerente per). Ho preso in considerazione l'idea di porre una domanda separata su quell'argomento in modo specifico, ma ora sento che potrebbe non essere possibile rispondere - se qualcuno la pensa diversamente, per favore commenta e creerò la domanda per la risposta chiara. Altrimenti ho spostato i miei pensieri su questo verso il basso per non sminuire questa risposta. E indipendentemente da quanto sopra, apprezzo la chiarezza del riferimento$e^{j\omega t}$ come una "sinusoide complessa" e non prendertela con questo.

Per essere chiari, i coefficienti DFT NON danno l'ampiezza e le fasi delle componenti sinusoidali reali del segnale originale a meno che il segnale stesso non sia reale, ma piuttosto danno l'ampiezza e la fase delle componenti di frequenza esponenziali scalate da $N$, che sono forniti sotto forma di $c_ke^{j\omega_k n}$ e indicato come "sinusoidi complesse".

La somma degli esponenziali ponderati complessi è direttamente dalla formula DFT inversa come indicato di seguito:

$$x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j \omega_k n}$$

Dove ciascuno $X[k]$ è dato come:

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j \omega_k n}$$

Mostra come ogni campione viene ripristinato come somma di tutte le componenti di frequenza opportunamente ponderate e fasate ciascuna sotto forma di $e^{j \omega_k n}$.

L'espressione generalizzata $Ae^{j\phi}$ è un fasore con magnitudine $A$ e angolo $\phi$. Quindi ogni coefficiente nella DFT è un numero complesso che rappresenta l'ampiezza e la fase iniziale di un fasore complesso nel tempo che ruota ad un multiplo intero della frequenza fondamentale, che è data dall'inverso della durata temporale totale del dominio del tempo forma d'onda (simile all'espansione della serie di Fourier in tempo continuo).

Detto in un altro modo, il DFT inverso ricostruisce qualsiasi sequenza arbitraria di campioni nel dominio del tempo sia reali che complessi da un insieme di funzioni di base della forma di $e^{j\omega_k n}$e la DFT mappa qualsiasi sequenza arbitraria di campioni nel dominio del tempo, sia reali che complessi, nei componenti di quelle funzioni di base (mostrando quanto di ciascuna funzione di base è contenuta nel segnale nel dominio del tempo e la sua relazione di fase con tutti gli altri componenti).

Per dare questo significato visivo, con l'OP ulteriormente chiarito nei commenti, si consideri questo: possiamo selezionare qualsiasi arbitrario $N$campioni su un piano complesso che rappresenta una forma d'onda discreta e complessa nel dominio del tempo, in modo tale da eseguire in sequenza ciascuno di quei campioni a turno. Il DFT sorprendentemente ci restituirà la grandezza e la fase iniziale per$N$ vettori, con ogni vettore che ruota un numero intero di cicli a partire da 0 (nessuna rotazione) fino a $N-1$ gira intorno al cerchio unitario, in modo tale che se sommiamo tutti questi fasori rotanti (e dividiamo per $N$), il punto finale di questo congegno geometrico rotante passerà attraverso ogni campione del dominio del tempo esattamente nel momento giusto.

Per visualizzarlo immediatamente, considera il caso più semplice di un IDFT a 2 punti che risulterebbe

$$x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j \omega_k n} = \frac{X_0}{2}e^{j0}+\frac{X_1}{2}e^{j\omega_1 n}$$

dove $\omega_1$ è di 1 rotazione ed è rappresentato dal grafico seguente.

Considera se abbiamo scelto come campioni nel dominio del tempo $[1,0]$: Il risultato DFT è $[1,1]$ che rappresenta un fasore di grandezza $1$ e angolo $0$ che non ruota, aggiunto a un fasore di grandezza $1$ che ruota di un ciclo (proprio come illustrato nel grafico sopra), quindi in entrambi i campioni nel tempo il grafico sopra sarà a $[2,0]$e dopo aver diviso per $N$ è la nostra sequenza originale.

Considera se abbiamo scelto come campioni nel dominio del tempo $[1,1]$: Il risultato DFT è $[2,0]$ che rappresenta un fasore di grandezza $2$ e angolo $0$ che non ruota, aggiunto a un fasore di grandezza $0$, quindi in entrambi i campioni nel tempo il risultato sarà a $[2,2]$e dopo aver diviso per $N$ è la nostra sequenza originale.

Infine considera se abbiamo scelto come campioni nel dominio del tempo $[1+j1,-1+j1]$: Il risultato DFT è $[2j, 2]$ che rappresenta un fasore di grandezza $2$ e angolo $\pi/2$ che non ruota, aggiunto a un fasore di grandezza $2$ e angolo $0$ che ruota di un cilindro (come illustrato nel grafico sotto), quindi in entrambi i campioni nel tempo il risultato sarà a $[2+j2, -2+j2]$e dopo aver diviso per $N$ è la nostra sequenza originale.

Sidetrack (e forse da postare come un'altra domanda se esiste una risposta chiara e non banale):

È $e^{j\omega t}$ sinusoidale?

L'ho sempre considerato NON sinusoidale, limitando la mia visione di sinusoidale come rappresentante di un'onda sinusoidale e notando l'ampiezza di $e^{j\omega t}$è costante rispetto al tempo e consiste di due sinusoidi in relazione di quadratura. RBJ ha protestato nei commenti, e mi ha fatto un po 'di matematica che mi ha portato a considerare diversamente - ma ancora curioso se questo è generalmente risolto o un argomento di dibattito non avendo ancora trovato una definizione chiara e generalmente accettata di "sinusoidale" - esiste ?

Ad esempio Wolfram definisce la sinusoide come una curva che assume la forma dell'onda sinusoidale, in particolare della forma:

$$f(x) = a\sin(\omega x + c) \label{1} \tag{1}$$

https://mathworld.wolfram.com/Sinusoid.html

Sostenendo il mio argomento iniziale (o almeno così pensavo).

Tuttavia, come ha sottolineato RBJ la relazione generale di $A\cos(\theta) + B\sin(\theta)$ come indicato di seguito consente $A$ e $B$ essere complesso:

$$A\cos(\theta) + B\sin(\theta) = \sqrt{A^2+B^2}\cos(\theta + \gamma) \label{2} \tag{2}$$

con $\gamma = \arg(A-jB)$

quando $B = jA$ quanto sopra si tradurrà in:

$$A\cos(\theta) + jA\sin(\theta) = Ae^{j\theta}$$

tuttavia, utilizzando la relazione di sommatoria sopra si ottiene $0$:

$$ = \sqrt{A^2 - A^2}\cos(\theta + \arg(2A))$$

Quindi ero pronto a concludere quello $\ref{1}$ e $\ref{2}$ risolto per me, dato che le due forme sono sufficientemente simili o possono essere fatte così con una semplice fase aggiunta, ma come mostro successivamente la relazione non supporta il caso di $e^{j\theta}$ (risultante in zero a meno che non abbia commesso un semplice errore).

[Se lo facciamo $B = -jA$ possiamo procedere con una soluzione per $e^{-j\theta}$, ma vorrei risolvere anche il caso precedente]

(Ho posto questa domanda qui: https://math.stackexchange.com/questions/3836769/a-cos-theta-b-sin-theta-for-complex-a-b)

Ulteriore derivazione di $A\cos(\theta) + B\sin(\theta)$ per capire cosa succede quando $A$ e $B$ non sono reali:

$$A\cos(\theta) + B\sin(\theta)$$

$$= \frac{A}{2}e^{j\theta} + \frac{A}{2}e^{-j\theta} + \frac{B}{2j}e^{j\theta} - \frac{B}{2j}e^{-j\theta}$$ $$= \frac{A}{2}e^{j\theta} + \frac{A}{2}e^{-j\theta} - \frac{jB}{2}e^{j\theta} + \frac{jB}{2}e^{-j\theta}$$

A questo punto la geometria dalla rappresentazione grafica di questo rivela la soluzione che è semplificata a questo quando A e B sono reali, risultando in un risultato reale di una singola onda sinusoidale con uno sfasamento:

Con conseguente identità nota:

$$A\cos(\theta) + B\sin(\theta) = \sqrt{A^2+B^2}\cos(\theta - \gamma)$$

Dove $\gamma = \tan^{-1}(B/A)$

Che è chiaramente una funzione sinusoidale. Ma considera cosa succede quando$A$ è reale e $B$ è immaginario, questo si tradurrà in $jB$ per essere reale, allineandosi con uno dei fasori in modo additivo e sottraendo dall'altro: