Com'è ${}_{kG}\mathcal{M}$ una categoria tensoriale?

Question

Permettere $G$ essere un monoide e $k$essere un anello unitale commutativo. Consideriamo l'algebra$$kG = \left\{\sum_{g \in G}' \alpha_g g: \alpha_g \in k\right\}$$con le sue normali operazioni. Alcune note che sto leggendo dice che la categoria${}_{kG}\mathcal{M}$ di $kG$-modules è una categoria tensoriale per $\otimes$ senza fornire ulteriori informazioni.

Domanda : qual è il prodotto tensore$\otimes$Qui? Dato a sinistra$kG$-moduli $M,N$, Credo $M \otimes N$ indica il prodotto tensoriale sull'anello commutativo $k$ dove $M$ e $N$ prendi un $k$-modulo dall'incorporamento canonico $k \to kG$. Ma come definiamo un'azione sensata su$M \otimes N?$

Possiamo provarci $$g. (m\otimes n) = (gm) \otimes n$$ ma questo non è simmetrico quindi probabilmente non è quello che sto cercando!

Answer 1

Quando hai un file $k$-modulo $A$, ha la struttura di una coalgebra co-commutativa, cioè $k$-Mappe lineari $\delta : A \to A \otimes_k A$ e $\epsilon : A \to k$ tale che le seguenti equazioni siano soddisfatte:

$$\begin{aligned} (\epsilon \otimes_k \textrm{id}_A) \circ \delta & = \textrm{id}_A \\ (\textrm{id}_A \otimes_k \epsilon) \circ \delta & = \textrm{id}_A \\ (\delta \otimes_k \textrm{id}_A) \circ \delta & = (\textrm{id}_A \otimes_k \delta) \circ \delta \\ \sigma \circ \delta & = \delta \end{aligned}$$

(Qui, $\sigma : A \otimes_k A \to A \otimes_k A$ è la trasposizione $a \otimes b \mapsto b \otimes a$.)

Esplicitamente, supponi $A$ ha un $k$-base $X$. Definiamo$\delta$ e $\epsilon$ su $X$ come segue ed estendi $k$-lineare:

$$\begin{aligned} \delta (x) & = x \otimes x \\ \epsilon (x) & = 1 \end{aligned}$$

È facile verificare che ciò faccia $A$in una coalgebra co-commutativa. Quindi, quando$A$ ha anche la struttura di un file $k$-algebra che fa $\delta : A \to A \otimes_k A$ e $\epsilon : A \to k$ $k$-omomorfismi algebrici - per esempio, se la moltiplicazione e l'unità sono definite da $k$-estensione lineare di una struttura monoide sulla base $X$ - possiamo limitare gli scalari per trasformare qualsiasi $(A \otimes_k A)$-modulo in un file $A$-modulo. In particolare, dato due$A$-moduli $M$ e $N$, abbiamo un ovvio $(A \otimes_k A)$-azione su $M \otimes_k N$, vale a dire, $$(a \otimes b)(m \otimes n) = (a m) \otimes (b n)$$ e questo produce un $A$-azione su $M \otimes_k N$. Coassociatività della moltiplicazione$\delta$ fa $\otimes_k$ un prodotto monoidale associativo sulla categoria di $A$-moduli e la cocommutatività lo rende simmetrico.