Come risolvere $x^{T}Ax = 0$?

Question

Data matrice $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, come risolvo $x^{T}Ax = 0$ per $x \in \mathbb{R}^n$?

Ovviamente, un vettore zero è sempre una soluzione e if $A$è positivo o negativo definito non c'è altra soluzione. Tuttavia, mi interessano i casi, dove$A$non è né. Solo tracciando alcuni esempi, credo che la soluzione nel caso bidimensionale dovrebbe solitamente descrivere una o due linee, ma una soluzione analitica mi sfugge.

La questione Risolvere equazioni quadratiche della forma$x'(A-B)x = 0$sembra essere strettamente correlato, ma chiede solo se c'è una soluzione, non come appare e chiede il caso complesso. E, a dire il vero, non capisco comunque la risposta.

Answer 1

Suggerimento: prova quello $x^T A x = x^T A_+ x$ per tutti $x$, dove $A_+ = \frac{1}{2}(A+A^T)$ è la parte simmetrica di $A$. Quindi puoi applicare il teorema spettrale.