Condizioni per la compattezza dell'operatore

Question

Permettere $A$ essere un operatore limitato su uno spazio di Hilbert con ONB $\{e_n\}_n$. Cerco condizioni precise su$\langle e_n, A e_m \rangle$ per garantirlo $A$è compatto (cioè il limite degli operatori di rango finito). È risaputo che$A$ è di classe trace se $$ \sum_{m} \sum_n|\langle e_n, A e_m \rangle| < \infty $$e gli operatori della classe di traccia sono all'interno dei compatti. Tuttavia, cosa succede se$A$non è traccia di classe? Se$A$ se diagonali sappiamo che la condizione sufficiente e necessaria è quella $$\langle e_n, A e_n \rangle\to 0 \qquad( n\to\infty)\,.$$

Tuttavia, cosa succede se $A$non è diagonale? C'è un criterio in termini di decadimento di$\langle e_n, A e_m \rangle$?

Answer 1

Per $m\geq n$, permettere $A^{m, n}$ essere il $m\times m$ matrice data da

$$ A^{m, n}_{i, j} = \left\{\matrix{ 0, & \text{if } i, j\leq n, \cr \langle e_i, Ae_j\rangle , & \text{otherwise}. } \right. $$ Per esempio, $$ A^{3,2} = \pmatrix{ 0 & 0 &\langle e_1, Ae_3\rangle \cr 0 & 0 &\langle e_2, Ae_3\rangle \cr \langle e_3, Ae_1\rangle & \langle e_3, Ae_2\rangle & \langle e_3, Ae_3\rangle }. $$

Teorema . L'operatore$A$ è compatto se e solo se $\lim_{m,n\to\infty} \|A^{m, n}\| =0$.

Prova . Permettere$P_n$ essere la proiezione ortogonale sulla campata del primo $n$ vettori di base e nota che, per $m\geq n$, la matrice di $$ P_mAP_m - P_nAP_n $$ coincide con $A^{m,n}$ all'interno in alto a sinistra $m\times m$blocco di voci e ha zero voci ovunque. Ne consegue che$$ \|A^{m, n}\| = \| P_mAP_m - P_nAP_n\|, $$ quindi la condizione relativa al limite nell'istruzione è equivalente a $\{P_nAP_n\}_n$ essendo una sequenza di Cauchy.

Poiché stiamo lavorando nello spazio di operatori limitati su uno spazio di Hilbert, che è completo, possiamo sostituire "Cauchy" con "convergente" nella frase precedente.

Supponendo che questa condizione sia vera, cioè quella $P_nAP_n$ converge, quindi l'operatore limite ha la stessa matrice di $A$ (Presumo che stiamo usando il prodotto interno di Physicist, che è coniugato lineare nella prima variabile), e quindi coincide con $A$. In altre parole$$ \lim_nP_nAP_n = A. $$ Da $P_nAP_n$ è rango finito, quindi compatto, e poiché lo spazio degli operatori compatti è chiuso, ne consegue $A$è compatto. Questo prova la parte "se". Per quanto riguarda la parte "solo se", supponiamo che$A$è compatto. Usando quello$\{P_n\}_n$ è uniformemente limitato e converge all'operatore di identità nella topologia forte (puntuale) che mostra $P_nAP_n$ converge a $A$ nella norma, quindi $\{P_nAP_n\}_n$ è una sequenza di Cauchy che abbiamo già concordato essere equivalente alla condizione nell'istruzione.

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Osservazioni:

1. Da $A^{m, n}$ è una matrice finita, la sua norma è (in linea di principio) calcolabile in termini di $\langle e_i, Ae_j\rangle $, come richiesto.

2. Il calcolo delle norme di matrici finite è un problema numerico difficile, quindi questo criterio potrebbe non essere utile come vorrebbe l'OP.