Conteggio della somma dei coefficienti binomiali

Question

Ho bisogno di contare la somma dei coefficienti binomiali nella sequenza

${2020}\choose{0}$ - 2 ${2020}\choose{1}$ + 3${2020}\choose{2}$ + ... - 2020${2020}\choose{2019}$ + 2021${2020}\choose{2020}$

cioè tutti i moltiplicatori con numeri pari sono negativi e la somma è $\sum^{2020}_{r=0} (-1)^{r} (r + 1)$$ {2020} \ scegli {r} $

Ho semplificato questa sequenza usando la regola di simmetria a

$ {2020} \ scegli {0} $ - 2 $ {2020} \ scegli {1} $ + 3 $ {2020} \ scegli {2} $ + ... - 1010 $ {2020} \ scegli {2009} $ + 1011 $ {2020} \ scegli {2010} $ +

2021 $ {2020} \ scegli {0} $ - 2020 $ {2020} \ scegli {1} $ + 2019 $ {2020} \ scegli {2} $ + ... - 1012 $ {2020} \ scegli {2009} $

= 2022 $ \ sum ^ {1009} _ {r = 0} (-1) ^ r$${2020}\choose{r}$ + 1011${2020}\choose{1010}$

Da $\sum^{n}_{r = 0} (-1)^r$${n} \ scegli {r} $ = 0,

= 2020 (0) + 1011 $ {2020} \ scegli {1010} $

cioè dall'ultimo termine al termine nel mezzo ho capovolto l'equazione per equiparare i coefficienti binomiali.

Tuttavia il numero che ho ottenuto è così grande che la mia calcolatrice non può elaborarlo, quindi non sono sicuro di come procedere e se questo metodo è corretto.

Answer 1

Penso che tu sia sulla strada giusta. Nota che non hai$\sum_{r=0}^{2020}(-1)^r\binom {2020}r$, quindi non puoi fare quella semplificazione. Tuttavia, invece di sostituire$\binom nr$ con $\binom n{n-r}$ per solo metà della lista, cosa succederebbe se si tentasse di sostituire l'intera somma e poi si aggiungesse la somma originale alla nuova somma?

Poiché questa risposta è stata più o meno ignorata, permettetemi di renderlo più chiaro. Hai già determinato la tua somma

$$k=\sum_{r=0}^{2020}(-1)^r(r+1)\binom{2020}r$$

Ora usa $\binom{2020}r=\binom{2020}{2020-r}$ e sostituire $u=2020-r$ ottenere

$$k=\sum_{u=0}^{2020}(-1)^{2020-u}(2020-u+1)\binom{2020}u=\sum_{u=0}^{2020}(-1)^u(2021-u)\binom{2020}u$$

Ovviamente l'indice della somma è solo un segnaposto. Possiamo sostituire il file$u$ con $r$ di nuovo e aggiungi termine per termine per ottenere

$$2k=\sum_{r=0}^{2020}(-1)^r(2022)\binom{2020}r=2022(1-1)^{2020}=0$$

Answer 2

Questa somma può essere scritta come $$S=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k (k+1){n \choose k}~~~~(1)$$Il teorema binomiale: $$\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-x)^k=(1-x)^n~~~(2)$$ Dà $$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k {n \choose k}=0 ~~~(3)$$ D (1) wr t $x$ e metti $x=1$, otteniamo di nuovo $$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k k {n \choose k}=0~~~~(4)$$ Da (3,4) segue quello $S=0$.

Answer 3

${(1+x)}^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2..\binom{n}{n}x^n$

moltiplicare x su entrambi i lati

$x{(1+x)}^n=\binom{n}{0}x+\binom{n}{1}x^2+\binom{n}{2}x^3..\binom{n}{n}x^{n+1}$

ora puoi sostituire x con -x

$x{(1-x)}^n=\binom{n}{0}x-\binom{n}{1}x^2+\binom{n}{2}x^3..{(-1)}^n\binom{n}{n}x^{n+1}$

ora puoi differenziare rispetto a x su entrambi i lati e inserire il valore $x=1$ per ottenere la tua somma (qui n = 2020)

Answer 4

Definire $f(x,y) = x(x+y)^{2020}$. Quindi la somma che stai cercando di calcolare è uguale a$\frac{\partial f}{\partial x}(1,-1)$.