Convergenza del random walk in $R^2$ al moto browniano su cerchio

Question

Sappiamo che la passeggiata aleatoria generata in $R^1$ può convergere debolmente nella distribuzione al moto browniano in $R^1$. Qualcuno potrebbe fornire una prova matematica di come si è generata una passeggiata aleatoria$R^2$ può convergere in distribuzione al moto browniano standard su un cerchio utilizzando una appropriata mappatura?

Answer 1

Questo è piuttosto sofisticato e non è una dimostrazione di una riga che si potrebbe presentare qui. Comunque, ecco una (mia) intuizione. Il cerchio ha una struttura di gruppo di Lie e quindi si può parlare in modo naturale di passeggiate casuali su un cerchio. Quindi imitando la strategia del teorema di invarianza di Donskers sulla retta reale, cioè interplolare, riscalare ecc., Sarai in grado di dimostrare che la passeggiata aleatoria converge debolmente a qualche processo di Markov il cui generatore è l'operatore di Laplace-Beltrami sul cerchio, cioè tu finire con il moto browniano sul cerchio.
Ecco un riferimento classico:
https://www.jstor.org/stable/pdf/25049879.pdf