Definizione di connessione ed è intuizione

Aug 15 2020

Diciamo uno spazio topologico $X$essere connesso se non può essere scritto come unione disgiunta di due sottoinsiemi aperti non vuoti. Connettività intuitiva significa che il nostro spazio topologico è un pezzo unico e non sono in grado di vedere come la definizione di cui sopra cattura l'intuizione. Per favore aiuto.

Risposte

7 HennoBrandsma Aug 15 2020 at 19:52

Se ovviamente qualsiasi spazio $X$ avere due o più punti può essere scritto come $A \cup B$, con $A,B$disgiunto e non vuoto, in molti modi. Ma essere disconnessi significa che c'è un modo per farlo in modo tale che non serve$A$ è vicino a" $B$ e nessun punto di $B$ è vicino a" $A$. Essere vicini a è formalizzato nella topologia essendo nella chiusura. Quindi chiama uno spazio$X$ disconnesso quando possiamo scriverlo come $A \cup B$, entrambi gli insiemi non vuoti e tali che $\overline{A} \cap B = \emptyset$ (nessun punto di $B$ è vicino a $A$) e $A \cap \overline{B} = \emptyset$ (nessun punto di $A$ è vicino a $B$). Ma questo implica quello$$X\setminus B= A \subseteq \overline{A} \subseteq X\setminus B$$ così in particolare $A=\overline{A}$ e $A$è chiuso. Simmetricamente,$B$ è chiuso anche lui, e come $A$ e $B$ sono complementi l'uno dell'altro, $A$ e $B$ sono aperti anche loro (che potresti anche vedere come segue, ad esempio if $x \in A$ non erano un punto interiore di $A$, ogni quartiere di $x$ conterrebbe non$A$ punti, quindi punti di $B$, come $A\cup B=X$. E se ogni quartiere di$x$ interseca $B$, $x \in \overline{B}$, ma non abbiamo ipotizzato alcun punto $x$ di $A$ era vicino a $B$...)

Quindi siamo alla definizione della domanda, definendo "connesso" uno spazio non disconnesso in questo senso. Equivale infatti a chiedere nella definizione di disconnessione parti simultaneamente aperte, simultaneamente chiuse o "separate" (come prima definizione).

3 Vercassivelaunos Aug 15 2020 at 19:32

Se tagli un set collegato in due pezzi, allora nel sito del taglio, uno dei due pezzi sarà "aperto", mentre l'altro sarà "chiuso". Ad esempio, se tagli la linea reale in due pezzi nel punto$a\in\mathbb R$, otterrai due pezzi $(-\infty,a],(a,\infty)$, o $(-\infty,a),[a,\infty)$. Almeno uno di loro ha un confine chiuso a$a$. I punti appartenenti al taglio devono essere inclusi in uno dei due pezzi, e quel pezzo avrà il punto di taglio come punto di confine. Allo stesso modo per spazi più complicati: la linea lungo la quale si taglia deve essere distribuita tra i due pezzi, dando loro un confine, rendendoli non aperti.

Certo, non abbiamo bisogno di tagliare lungo una linea / piano / qualunque cosa, ma è il caso in cui l'intuizione è più immediatamente chiara.