Differenza tra anti-derivato e integrale indefinito

Question

Il mio insegnante mi ha dato il seguente integrale da valutare: $$\int \frac{x^2}{(x\sin(x)+\cos(x))^2}dx$$ Dopo mezz'ora di armeggiare inutilmente con le identità trigonometriche ho rinunciato e l'ho collegato a un calcolatore integrale: https://www.integral-calculator.com/. Tuttavia sono confuso: ha visualizzato ANTIDERIVATIVO COMPUTATO DA MAXIMA come$$-\dfrac{\left(2x^2-2\right)\sin\left(2x\right)+4x\cos\left(2x\right)}{\left(x^2+1\right)\sin^2\left(2x\right)+4x\sin\left(2x\right)+\left(x^2+1\right)\cos^2\left(2x\right)+\left(2-2x^2\right)\cos\left(2x\right)+x^2+1}+C$$ e ho premuto il pulsante di semplificazione per ottenere $$-\dfrac{\left(x^2-1\right)\cos\left(x\right)\sin\left(x\right)+2x\cos^2\left(x\right)-x}{\left(x^2-1\right)\sin^2\left(x\right)+2x\cos\left(x\right)\sin\left(x\right)+1}+C$$Tuttavia, l' ANTIDERIVATIVO CALCOLATO "MANUALMENTE" mostrava quanto segue$$\dfrac{\sin\left(x\right)-x\cos\left(x\right)}{x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}+C$$ Che è stato calcolato con il seguente metodo:

$$\int \frac{x^2}{(x\sin(x)+\cos(x))^2}dx= \int \Bigg(\frac{x\sin(x)}{x\sin(x)+cos(x)}-\frac{x\cos(x)(\sin(x)-x\cos(x))}{(x\sin(x)+\cos(x))^2}\Bigg) dx$$ Utilizzo dell'integrazione per parti $$ \int \frac{x\cos(x)(\sin(x)-x\cos(x))}{(x\sin(x)+\cos(x))^2} dx= \dfrac{\sin\left(x\right)-x\cos\left(x\right)}{x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}+ \int\frac{x\sin(x)}{x\sin(x)+cos(x)}dx$$ $$\Rightarrow \int \frac{x^2}{(x\sin(x)+\cos(x))^2}dx=\dfrac{\sin\left(x\right)-x\cos\left(x\right)}{x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}+ \int\frac{x\sin(x)}{x\sin(x)+cos(x)}dx-\int\frac{x\sin(x)}{x\sin(x)+cos(x)}dx=\dfrac{\sin\left(x\right)-x\cos\left(x\right)}{x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}+C $$

La mia domanda è: perché ottengo risultati diversi dal calcolo dell'anti-derivato e dell'integrale indefinito? Ho semplificato l'anti-derivato, quindi non dovrebbe essere semplificato all'integrale indefinito sopra? Queste due equazioni sono uguali? Le funzioni per anti-derivati ​​e integrali indefiniti sono molto diverse? Qualsiasi aiuto sarà apprezzato

Answer 1

Ad esempio, perché $$\begin{align*}&(x^2-1)\sin^2x+2x\sin{x}\cos{x}+1\\&=(x^2-1)\sin^2x+2x\sin{x}\cos{x}+\sin^2x+\cos^2x\\&=x^2\sin^2x+2x\sin{x}\cos{x}+\cos^2x\\&=(x\sin{x}+\cos{x})^2.\end{align*}$$ Ora, cosa succede al numeratore?

Abbiamo il seguente: $$\begin{align*}&(x^2-1)\cos{x}\sin{x}+2x\cos^2x-x\\&=(x^2-1)\cos{x}\sin{x}+2x\cos^2x-x\sin^2x-x\cos^2x\\&=x\cos^2x+(x^2-1)\cos{x}\sin{x}-x\sin^2x\\&=(x\sin{x}+\cos{x})(x\cos{x}-\sin{x}).\end{align*}$$ Spero che ora sia chiaro.

Answer 2

Calcolo dell'integrale indefinito $$ \begin{align} &\int\frac{x^2}{(x\sin(x)+\cos(x))^2}\,\mathrm{d}x\\ &=\int\frac{x^2}{(x\sin(x)+\cos(x))^2}\frac{\mathrm{d}(x\sin(x)+\cos(x))}{x\cos(x)}\tag1\\ &=-\int\frac{x}{\cos(x)}\,\mathrm{d}\frac1{x\sin(x)+\cos(x)}\tag2\\ &=-\frac{x}{\cos(x)}\frac1{x\sin(x)+\cos(x)}+\int\frac1{x\sin(x)+\cos(x)}\,\mathrm{d}\frac{x}{\cos(x)}\tag3\\ &=-\frac{x}{\cos(x)}\frac1{x\sin(x)+\cos(x)}+\int\frac1{x\sin(x)+\cos(x)}\frac{\cos(x)+x\sin(x)}{\cos^2(x)}\,\mathrm{d}x\tag4\\[1pt] &=\tan(x)-\frac{x}{\cos(x)}\frac1{x\sin(x)+\cos(x)}+C\tag5\\[2pt] &=\frac{\sin(x)-x\cos(x)}{x\sin(x)+\cos(x)}+C\tag6 \end{align} $$ Spiegazione:
$(1)$: $\mathrm{d}(x\sin(x)+\cos(x))=x\cos(x)\,\mathrm{d}x$
$(2)$: $\frac1{u^2}\mathrm{d}u=-\mathrm{d}\frac1u$
$(3)$: integra per parti
$(4)$: $\mathrm{d}\frac{x}{\cos(x)}=\frac{\cos(x)+x\sin(x)}{\cos^2(x)}\,\mathrm{d}x$
$(5)$: $\sec^2(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan(x)$
$(6)$: $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ e semplificare

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Gli integrali sono gli stessi $$ \begin{align} &-\frac{\left(x^2-1\right)\cos(x)\sin(x)+2x\cos^2(x)-x}{\left(x^2-1\right)\sin^2(x)+2x\cos(x)\sin(x)+1}+C\\ &=-\frac{(x\sin(x)+\cos(x))(x\cos(x)-\sin(x))}{(x\sin(x)+\cos(x))^2}+C\tag7\\ &=\frac{\sin(x)-x\cos(x)}{x\sin(x)+\cos(x)}+C\tag8 \end{align} $$ Spiegazione:
$(7)$: moltiplicare e utilizzare $\cos^2(x)-\sin^2(x)=2\cos^2(x)-1$
$(8)$: annulla fattori comuni