Differenza tra $\equiv$ e $=$?

Question

Qual è la differenza tra $\equiv$ e $=$?

Il mio pensiero è, quello, quando $\equiv$ viene usato $=$avrebbe potuto essere usato anche. L'espressione risultante non sarebbe sbagliata, ma assumerebbe solo un significato leggermente diverso. Ma qual è esattamente la relazione tra quei simboli?

Per fare un esempio pratico, considera quelli: $$ 𝑋=𝑌:⟺∀𝑥:(x∈𝑋\iff𝑥∈𝑌) $$ $$ 𝑋=𝑌:=∀𝑥:(x∈𝑋\iff𝑥∈𝑌) $$ $$ 𝑋=𝑌:\equiv∀𝑥:(x∈𝑋\iff𝑥∈𝑌) $$

O quelli: $$ 5+7=12 $$ $$ 5+7\equiv12 $$ $$ 5+7=7+5 $$ $$ 5+7\equiv7+5 $$

Answer 1

Il $:$ è cruciale qui, indicando che ciò che è a sinistra di $:\Longleftrightarrow$, $:=$ o $:\equiv$ è definito come ciò che è a destra. Questi tre simboli a due caratteri significano tutti la stessa cosa. Ma se chiedi un confronto dei significati del "nudo"$\Longleftrightarrow$, $=$, $\equiv$, beh, quelli sono tutti diversi.

I primi due sono facili: $\Longleftrightarrow$ significa iff, e $=$significa uguale. Ma$\equiv$ può denotare identità (fare è più forte di $=$) o relazioni di equivalenza (che sono più deboli di$=$, e spesso indicato $\sim$, sebbene la congruenza in particolare sia sempre rappresentata con$\equiv$.)

Answer 2

Sfortunatamente ci sono un paio di usi diversi per $\equiv$e può essere più forte o più debole di $=$.

Un significato comune è "è identicamente uguale a". Un tipico caso in cui vedresti questo è$f(x)\equiv g(x)$, e sottolinea che le funzioni $f$ e $g$ sono uguali, piuttosto che solo i loro valori sono uguali per uno specifico $x$. È fondamentalmente lo stesso di "per ogni$x$, $f(x)=g(x)$". Possiamo anche usare $\equiv$ per distinguere una relazione che vale sempre, come $cos^2 x\equiv 1-\sin^2 x$, da un'equazione da risolvere $x$, ad esempio $\cos x=1-\sin x$.

Un altro uso comune è nell'aritmetica modulare, o "orologio". Qui diciamo che due numeri interi sono congruenti modulo$m$ se differiscono di un multiplo di $m$. Il collegamento con gli orologi è che due ore delle 4 non sono necessariamente la stessa ora, ma devono essere un multiplo di 12 ore l'una dall'altra. Noi scriviamo$a\equiv b\pmod m$ per "$a$ è congruente a $b$ modulo $m$". Qui $16\equiv 4\pmod{12}$, ma certo $16\neq 4$.

Answer 3

$\equiv$ significa "uguale per tutti i valori delle variabili", mentre $=$significa solo "uguale" (forse solo per alcuni valori delle variabili). Ad esempio, confronta$$\cos(\alpha+\beta)\equiv\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$ con $$ \cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha-\beta).$$La prima affermazione è vera perché le due parti sono uguali per tutti $\alpha$ e $\beta$, mentre il secondo può essere vero per determinati valori di $\alpha$ e $\beta$ (ovvero quando uno di loro è un multiplo di $\pi$).

Answer 4

$\equiv$ è usato per $\text{identity}$ principalmente, ma $=$ è usato per l'equazione