Differenziabili a $x=a$ implica continuo a $x=a$

Question

Considera la funzione $$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x^2-4 & \text{ if }x\leq 2\\4x+3&\text{ if } x\gt 2\end{array}\right.$$

Questa funzione è differenziabili in $x=2$ da $\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=4$ (EDIT: questo in realtà non è vero ma è vero che $\lim_{x\to 2^-}f^\prime (x)=4=\lim_{x\to 2^+}f^\prime(x)$); tuttavia, non è continuo a$x=2$.

Com'è possibile, non differenziabilità a $x=a$ implica continuità a $x=a$?

Questa domanda è emersa quando ho cercato di rispondere alla domanda di trovare $a$ e $b$ tale che la funzione $$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} ax^2-b & \text{ if }x\leq 2\\bx+3&\text{ if } x\gt 2\end{array}\right.$$

La soluzione si ottiene trovando le condizioni $a$ e $b$tale che sia continuo, e anche tale che esistano le derivate sinistra / destra. La domanda derivativa sinistra / destra dà$4a=b$. Con la condizione di continuità si ottiene la condizione aggiuntiva che$4a-b=2b+3$, dando una soluzione unica. Ma la differenziabilità non implica continuità? Cosa c'è di sbagliato nel solo risolvere$4a=b$ come nel primo esempio sopra?

Answer 1

Nota che $f(2)=0$ e quello quindi$$\lim_{x\to2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2^+}\frac{4x+3}{x-2}=\infty.$$Così, $f$non è differenziabile in$2$.

Answer 2

La funzione non è differenziabile in $2$ perché $RHD$ è $$\lim_{h\to0^+}\frac{f(2+h)-f(2)}h=\lim_{h\to0^+}\frac{[4(2+h)+3]-0}h\to\infty$$Nota che è solo il LHD che è $4$.

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È dato che la funzione è differenziabile in $2$. $$\begin{align*}LHD&=\lim_{h\to0^+}\frac{f(2)-f(2-h)}h=\lim_{h\to0}\frac{4a-b-[a(2-h)^2-b]}h=4a\\RHD&=\lim_{h\to0^+}\frac{f(2+h)-f(2)}h=\lim_{h\to0^+}\frac{2b+hb+3-[4a-b]}h\end{align*}$$

Nota che per il $RHD$ per esistere, il limite deve avere il $0/0$ forma poiché il denominatore tende a $0$. Il numeratore tenderà a$0$ iff $2b+3-[4a-b]=3b+3-4a=0$, dandoti il $RHD=b$.

Equivalente al $RHD$ e $LHD$ dà $4a=b$ e l'esistenza di $RHD$ richiede $4a=3b+3$ che è anche la condizione che abbiamo ottenuto analizzando la continuità di $f$. Quindi non è necessario considerare la continuità separatamente.