Differenziali meromorfi e pullback.
Nella sezione 3.3 di Diamond & Shurman, A First Course in Modular Forms , gli autori trattano ingenuamente i cosiddetti "differenziali meromorfi". Sembra che gli spazi denotino$\Omega^{\otimes n}(X)$ è davvero il $n^{\text{th}}$ potere simmetrico dei cosiddetti differenziali meromorfi, indicato $\Omega^1(X)$.
Ecco la mia prima domanda. Cosa è$\Omega^1(X)$? Questa domanda ha la risposta "È una sezione dell'ennesimo potere simmetrico del fascio di differenziali meromorfi" ma per me questo solleva semplicemente la domanda. Cosa sono i differenziali meromorfi?
Credo di sapere cosa $\Omega^1_{\text{hol}}(X)$ (differenziali olomorfi) è, dovrebbe essere definito proprio come i differenziali lisci lo sono per varietà reali, cioè $\Omega^1_{\text{hol}}(X)$ è semplicemente sezioni del fascio cotangente.
Ora sul pullback. A livello locale, gli autori definiscono il pullback come segue: if$\varphi:V_1\to V_2$ è una mappatura olomorfica di sottoinsiemi aperti di $\mathbb C$. Poi$$\varphi^*(f(q_2)(dq_2)^n)=f(\varphi(q_1))(\varphi'(q_1))^n(dq_1)^n.$$
Mi piacerebbe capirlo nel contesto della geometria differenziale. La mia comprensione (certamente quasi esclusiva delle varietà reali) è che se$\varphi:X\to Y$ è una mappatura olomorfa delle superfici di Riemann, il pullback $\varphi$ sopra $\operatorname{Sym}^n\Omega^1(Y)$ a un certo punto $P\in X$ è $$\varphi^*_P(\omega_1\cdots\omega_n)(X_1,\dots,X_n):=\omega_1(\varphi_{*,P}X_1)\cdots\omega_n(\varphi_{*,P}X_n)$$ dove giustapposizione $\omega\eta$ denota il prodotto simmetrico, $\varphi_{*,P}$ denota il push-forward e $\frac{1}{2}(\omega\otimes\eta+\eta\otimes\omega)$ e $X_1,\dots,X_n\in T_PX$.
Ecco la mia seconda domanda, in qualche modo subordinata alla prima.
Come recupero l'espressione locale di Diamond e Shurman da quella differenziale-geometrica? Sto addirittura esprimendo correttamente la definizione ingenua nel linguaggio delle varietà?
Finora ho studiato solo fasci di vettori nel contesto di varietà differenziabili. Spero di (molto presto) iniziare a studiare i fasci quasi coerenti, ma non capisco ancora questo quadro, quindi per favore rispondi nel contesto di varietà e fasci reali e complessi, anche se alcune indicazioni su come funziona per i fasci invertibili lo farebbero anche essere apprezzato come dovrei capirlo un po 'più tardi.
Risposte
Consentitemi di elaborare il commento sopra e trasformarlo in una risposta. Ci sono molti modi per definire i differenziali meromorfi, forse il più semplice dei quali è "sezioni razionali del fascio cotangente". Per essere più precisi, se$V \subseteq X$ è un sottoinsieme aperto e $U \subseteq V$ è tale che $V \setminus U$ consiste di punti isolati, quindi $\omega \in \Omega^1_{hol}(U)$ è un differenziale meromorfo su $V$ se ha poli lungo $V \setminus U$. In alternativa, si potrebbe semplicemente definire una forma differenziale meromorfa su$V$ utilizzando grafici - definizione di forme differenziali meromorfe su $\mathbb{C}$ come $ f(q) dq$ con $f$ meromorfo, e dillo $\omega$ è una forma differenziale su $V$ se per qualsiasi grafico $\phi : W \rightarrow V \subseteq \mathbb{C}$, $\phi^{*} \omega$è meromorfo. Questo è l'approccio adottato in Diamond e Shurman.
Lo spazio indicato $\Omega^{\otimes n}(X)$ non è il $n$-esima potenza simmetrica, ma il $n$-esima potenza tensoriale. Quando abbiamo due fasci di linee, possiamo tensorizzarli per ottenere un nuovo fascio di linee. Lo facciamo$n$tempi per il fascio di linea dei differenziali meromorfi. In notazione più esplicita$$ (dq)^n = (dq)^{\otimes n} = (dq)\otimes \ldots \otimes (dq) $$ Se $\varphi : X \rightarrow Y$ è olomorfo, quindi tirare indietro soddisfa $$ \varphi^*(\omega_1 \otimes \ldots \otimes \omega_n) = \varphi^*(\omega_1) \otimes \ldots \otimes \varphi^*(\omega_n) $$ e otteniamo \begin{align*} \varphi^*(f(q_2)(dq_2)^{\otimes n}) &= \varphi^*(f(q_2)dq_2) \otimes (\varphi^*(dq_2))^{\otimes n-1} \\ &= (f(\varphi(q_1)) \varphi'(q_1) dq_1) \otimes (\varphi'(q_1)dq_1)^{\otimes n-1} \\ &= f(\varphi(q_1))(\varphi'(q_1))^n (dq_1)^{\otimes n} \end{align*} dove qui abbiamo usato la regola della catena per tirare indietro ogni differenziale.