dimensione di un modulo e moduli semplici
Sto cercando di comprendere questi nuovi concetti. Supponiamo che io abbia uno scenario in cui$V$ è un modulo gratuito e anche $V$ è un modulo dimensionale finito, se V è semplice, deve $V$ essere dimensione $1$?
Def:
Si dice che un modulo sia semplice se qualsiasi sottomodulo di tale modulo lo è $\{0\}$ o se stesso.
Il mio pensiero è che se abbiamo un file $A$-modulo $V$ che è anche dimensionale finita, diciamo $V=\langle v_1,\cdots,v_n\rangle$, con gli scalari provengono da $A$, allora sicuramente se prendiamo qualsiasi sottoinsieme appropriato di tali vettori di base, la loro estensione sarebbe un sottomodulo appropriato di $V$? Quindi$V$ è semplice solo se $n=1$? (ovviamente il contrario non è vero, se$n=1$ allora non sarà necessariamente semplice)
Mi sembra che ci sia qualcosa di sbagliato nel mio argomento, devo aver confuso qualcosa dai moduli con l'algebra lineare.
Risposte
Se $V$ è semplice, deve $𝑉$ essere dimensione 1?
No. La semplicità di un modulo di un'algebra su un campo non dice molto sulla sua dimensione.
Considera l'anello della matrice $R=M_2(F)$ per un campo $F$.
Poi $F\times F$, visto come un diritto $R$ modulo che utilizza la moltiplicazione di matrici, è un modulo semplice che è $2$ dimensionale $F$.
Un altro esempio con la stessa idea: let $V$ essere uno spazio vettoriale dimensionale infinito, e $E$essere il suo anello di trasformazioni lineari. Poi$V$ è infatti un semplice $E$ modulo, e ancora $V$ ha infinito $F$ dimensione.
Tutto ciò presuppone che tu intenda "dimensione" nel modo in cui è più comunemente usato: come invariante di uno spazio vettoriale. Se in effetti intendevi qualche altro tipo di dimensione, dovrai specificarlo. Ce ne sono molti di cui potresti parlare. Ad esempio, se per dimensione intendevi "lunghezza della composizione", allora sì , un semplice modulo ha la lunghezza della composizione$1$.