Dimostralo $V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U$ dove $V_\lambda$ è il modulo Specht e $U$ è la rappresentazione del segno di $S_n$.

Question

Questo è l'esercizio 4.4 (c) della Teoria della rappresentazione di Fulton / Harris. La maggior parte delle definizioni può essere trovata qui:https://en.wikipedia.org/wiki/Young_symmetrizer. Permettere$\lambda \vdash n$. Il modulo Specht$V_\lambda$ è la rappresentazione irriducibile di $S_n$ definito tramite l'immagine $\mathbb{C}[S_n]c_\lambda$ di $c_\lambda$ è $\mathbb{C}[S_n]$ dove $c_\lambda$è il giovane simmetrizzatore. Lo voglio dimostrare$$ V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U $$ dove $U$ è la rappresentazione del segno e $\lambda'$ è la partizione di $n$ coniugato con $\lambda$. Come sottomodulo dell'algebra di gruppo$\mathbb{C}[S_n]$, noi abbiamo $U = \mathbb{C} \sum_{\pi \in S_n} sgn(\pi) \pi$.

Qualcuno può aiutarmi a mostrarlo? Devo definire un file$\mathbb{C}[S_n]$isomorfismo del modulo ma non capisco bene come siano gli elementi del modulo Specht. Ho visto una dimostrazione usando i polytabloids, ad esempio in James, ma sto cercando di capire invece la costruzione dei moduli Specht come sottomoduli dell'algebra di gruppo.

Answer 1

Permettere $\Phi:\mathbb{C}[S_n]\rightarrow \mathbb{C}[S_n]$ essere la mappa lineare che invia una permutazione $\sigma$ per ${\rm sgn}(\sigma)\ \sigma$. È un automorfismo algebrico di$\mathbb{C}[S_n]$ che mappa il modulo Specht per $\lambda$ a quello per la trasposizione $\lambda'$. Suggerimento: è questa mappa$S_n$-equivariante? In caso contrario, come puoi correggerlo?

Answer 2

Seguendo il suggerimento di Abdelmalek Abdesselam, prima definisci $\Phi:\mathbb{C}[S_n] \to \mathbb{C}[S_n]$ attraverso $\sigma \mapsto \text{sgn}(\sigma)\sigma$e estensione lineare. È un automorfismo algebrico che mappa$V_\lambda \to V_{\lambda'}$. Per tutti$\pi,\sigma \in S_n$, noi abbiamo \begin{align*}\Phi(\pi\sigma) & = \text{sgn}(\pi) \pi \text{sgn}(\sigma) \sigma\\ & = \text{sgn}(\pi)\Phi(\sigma). \end{align*}

Ora definisci una mappa $\rho:V_\lambda \otimes U \to V_{\lambda'}$ attraverso $\tau c_\lambda \otimes u \mapsto \Phi(\tau c_\lambda)u$e estensione lineare. Il codominio è corretto da allora$\Phi(\tau c_\lambda) \in V_{\lambda'}$. Questa mappa è$S_n$-equivariante poiché per qualsiasi $\pi,\tau \in S_n$ e $u\in U$abbiamo \ begin {align *} \ rho (\ pi (\ tau c_ \ lambda \ otimes u)) & = \ rho (\ pi \ tau c_ \ lambda \ otimes \ pi u) & (\ text {def. of$S_n$-azione sul prodotto tensore interno}) \\ & = \ Phi (\ pi \ tau c_ \ lambda) \ pi u \\ & = \ Phi (\ pi \ tau c_ \ lambda) \ text {sgn} (\ pi) u & (\ text {da $U$ è la rappresentazione del segno}) \\ & = \ text {sgn} (\ pi) \ pi \ Phi (\ tau c_ \ lambda) \ text {sgn} (\ pi) u & (\ text {def. of $\Phi$}) \\ & = \ pi \ Phi (\ tau c_ \ lambda) u \\ & = \ pi \ rho (\ tau c_ \ lambda \ otimes u). \ end {align *}