Dimostrare una funzione$\pi$da$U(q) \to U(q')$essere su

Aug 16 2020

Questa particolare domanda è stata posta nel mio quiz di algebra astratta e non sono riuscito a risolverla.

Permettere$q ,q' \in \mathbb{N} $e lascia$q'\mid q$. Permettere$U(m)$denotiamo il gruppo moltiplicativo delle classi di residui coprime to$m$. Permettere$\pi: U(q) \to U(q')$essere tale che se$a \in U(q)$,$\pi(a)$è un elemento unico in$U(q')$tale che$a \equiv \pi(a) \pmod {q'}$.

Allora mostralo$\pi$è su.

Tentativo: ero confuso. Tutto quello che ho potuto mostrare è quello$a$è diverso da zero come$a$appartiene a$U(q)$e$a \not \equiv 0 \pmod {q'}$come$\pi(a) \not \equiv 0 \pmod {q'}$. Ma chiaramente allora non sono sufficienti per provare.

Gentilmente, dai solo alcuni suggerimenti. Riposo Mi piacerebbe lavorare da solo.

Risposte

2 FabioLucchini Aug 15 2020 at 23:55

Suggerimento: lascia$y\in\Bbb Z$tale che$\gcd(y,q')=1$. Per il teorema cinese del resto esiste$k\in\Bbb Z$tale che$y+kq'\equiv 1\pmod p$per ogni divisore primo$p$di$q$che non divide$q'$.


Prova dettagliata: let$P$essere l'insieme dei primi divisori di$q$che non divide$q'$. Per il teorema cinese del resto esiste$k\in\Bbb Z$tale che$$k\equiv(1-y)q'^{p-2}\pmod p$$per ogni$p\in P$. Per ogni$p\in P$, da$p\nmid q'$segue$q'^{p-1}\equiv 1\pmod p$, quindi$y+kq'\equiv 1\pmod p$.

Notare che$\gcd(y+kq',q)=1$. Per lasciare$p$essere un primo divisore di$\gcd(y+kq',q)$. Quindi$p|q$. Se$p|q'$, poi$p|y$che contraddice$\gcd(y,q')=1$. Altrimenti, se$p\nmid q'$, poi$p\in P$, quindi$y+kq'\equiv 1\pmod p$che contraddice$p|(y+kq')$.

Se$\bar x$denotare la classe di residuo di$y+kq'$modulo$q$e$\bar y$la classe dei residui di$y$modulo$q'$, poi$\bar x\in U(q)$e$\bar y=\pi(\bar x)$.

1 ne3886 Sep 23 2020 at 17:20

Consideriamo tre casi:

  1. $′ = ^{\alpha},\, =^{\beta},\quad \alpha\leq\beta,\, \text{ prime}$

  2. $q' = p_1^{\alpha_1}\ldots p_r^{\alpha_r},\, q' = p_1^{\beta_1}\ldots p_r^{\beta_r},\quad \alpha_i \leq \beta_i,\, p_i \text{ prime}$

  3. $q' = q_1,\, q = q_1q_2,\quad gcd(q1,q2) = 1$

  • caso 1: let$a\in\mathbb{Z}$:$$a + p^{\alpha}\mathbb{Z} \in U\left(p^{\alpha}\right) \iff gcd(a,p^{\alpha}) = 1 \iff gcd(a, p) = 1 \iff gcd(a, p^{\beta}) = 1 \iff a + p^{\beta}\mathbb{Z}\in U\left(p^{\beta}\right)$$noi abbiamo$\pi\left(a+p^{\beta}\mathbb{Z}\right)=a+p^{\alpha}\mathbb{Z}$

  • caso 2: per il teorema cinese del resto:\begin{align*} \mathbb{Z}/q'\mathbb{Z} &\simeq \prod_{i=1}^{r}\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_i}\mathbb{Z}\\ \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} &\simeq \prod_{i=1}^{r}\mathbb{Z}/p_i^{\beta_i}\mathbb{Z} \end{align*}

Così\begin{align*} U(q') &\simeq \prod_{i=1}^{r}U(p_i^{\alpha_i})\\ U(q) &\simeq \prod_{i=1}^{r}U(p_i^{\beta_i}) \end{align*}a testa$\pi_{i}: U(p_i^{\beta_i}) \to U(p_i^{\alpha_i})$è suriettivo così è$\pi = \pi_{1}\times\ldots\times\pi_{r}$.

  • caso 3: let$a\in\mathbb{Z}$st$a+q_1 \mathbb{Z}\in U(q_1)$. Così$gcd(a,q_1) = 1$L'equazione$$na -mq_1 = 1,\quad m,n\in\mathbb{Z} \text{ unknown}$$ammette soluzioni:\begin{align*} n &= n_0 + q_1 t\\ m &= m_0 + a t\\ t &\in \mathbb{Z} \end{align*}dove$n_0, m_0$sono soluzione particolare dell'equazione.

vogliamo trovare una soluzione all'equazione:$$n'(a - sq_1) - m'q_1q_2 = 1$$ $$n',m', s \in \mathbb{Z} \text{ unknown}$$

la prima equazione è equivalente a$n' a -q_1(sn' + m'q_2) = 1$Così\begin{align*} n' &= n_0 + q_1 t\\ m'q_2 &= m_0 - sn_0 +(a - sq_1)t \end{align*} $gcd(q_1,q_2) = 1$quindi la mappatura\begin{align*} \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}\\ \bar{s} &\mapsto a -q_1\bar{s} \end{align*}è iniettivo, quindi è suriettivo; lì esiste$s_0\in\mathbb{Z}$st$gcd(q_2, a - q_1s_0) = 1$. Abbiamo messo$\alpha = a - q_1s_0,\, \beta = m_0 - s_0 n_0$Con lo stesso argomento, la mappatura:\begin{align*} \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}\\ \bar{t} &\mapsto \beta + \alpha\bar{t} \end{align*}è suriettiva, quindi l'equazione$m'q_2 = m_0 - sn_0 +(a - sq_1)t$ammette soluzioni$m_0^{\prime}, t_0$. Infine mettiamo$n_0^{\prime} = n_0 + q_1 t_0$, quindi abbiamo trovato una soluzione particolare$s_0, n_0^{\prime}, m_0^{\prime}$all'equazione$$n'(a - sq_1) - m'q_1q_2 = 1$$abbiamo messo$b = a -s_0 q_1$; noi abbiamo$b\in U(q_1q_2)$e$\pi\left(b+q_1q_2\mathbb{Z}\right) = a + q_1\mathbb{Z}$; così abbiamo dimostrato$\pi$è suriettivo.

concettualmente abbiamo dimostrato che i tre diagrammi sono commutativi

dove$cr_{\star}$sono isomorfismi dati dal teorema cinese dei resti, quindi deduciamo la suriettività dell'omomorfismo desiderato dalla suriettività degli altri