Domanda sull'anello principale

Question

Sono studente di matematica. Ho solo confuso alcuni concetti di base, quindi lo chiedo qui ...

Prima di tutto ideale principale significa ideale generato da un singolo elemento, ma non so cosa significhi "generato". Come si definisce "generato"?

Ho visto alcuni esempi nel libro di Dummit, e dicono "L'ideale banale 0 e l'ideale R sono entrambi principali: 0 = (0) e R = (1)". La mia seconda domanda è: se l'anello R è principale, allora i suoi ideali sono sempre principali?

Grazie per aver letto, e spero anche che tu risponda alle mie poche domande!

Answer 1

In generale, se $R$ è un anello e $S\subseteq R$ è un sottoinsieme quindi l'ideale generato da $S$ è definito come l'intersezione di tutti gli ideali che contengono $S$come sottoinsieme. In altre parole, questo è l'ideale più piccolo (per inclusione) che contiene$S$. La notazione è$(S)$.

In particolare, se $S=\{a\}$ è un insieme con un elemento quindi $(a)$ è l'ideale più piccolo di $R$ che contiene l'elemento $a$. Ora se$R$ è un anello con unità quindi è facile vedere che il set:

$I=\{\sum_{i=1}^n r_ias_i: n\in\mathbb{N}\cup\{0\},\ r_i,\ s_i\in R\}$

È un ideale che contiene $a$. Quindi$(a)\subseteq I$. D'altra parte,$(a)$ stesso è un ideale che contiene $a$, quindi per le proprietà di un ideale deve contenere tutti gli elementi di $I$. Così$I\subseteq (a)$è anche vero. Quindi questo implica$I=(a)$, abbiamo trovato un modo relativamente semplice per descrivere $(a)$.

Se lo sapessimo anche noi $R$ è commutativo quindi sarebbe ancora più facile, quindi avremmo semplicemente $(a)=\{ra: r\in R\}$. (controllalo)

Bene, ora alle definizioni. Un ideale$I$ si chiama principale se ce ne sono $a\in I$ tale che $I=(a)$. Un anello$R$ è chiamato anello principale se tutti i suoi ideali sono principali.