È vero che $V^{\,T}SV=\Lambda$?
Richiesta
Una matrice simmetrica $S=S^T$ ha autovettori ortonormali $\vec{v}_1$ per $\vec{v}_n$. Quindi qualsiasi vettore$\vec{x}$ può essere scritto come una combinazione $\vec{x} = c_1 \vec{v}_1+ \cdots + c_n \vec{x}_n$. Spiega questa formula:$\vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \lambda_1 c_1^2+ \cdots + \lambda_nc_n^2$
La mia spiegazione:
$\vec{x}$ può essere scritto come $$ \begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \cdots & \vec{v}_n \end{bmatrix}_{nxn} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}_{\,nx1} = V\vec{c} $$ Ritenere, $$ \vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \vec{c}^{\,T}(V^{\,T}SV)\vec{c} = \vec{c}^{\,T}\Lambda\vec{c} = \lambda_1 c_1^2 + \cdots + \lambda c_n^2 $$ Vediamo che gli autovettori ortonormali di $S$moltiplicare per creare la matrice diagonale degli autovalori. Finiamo quindi con il prodotto interno delle ponderazioni vettoriali, il$c^2$ termini, scalati dai rispettivi autovalori.
Mi sento abbastanza bene per la mia spiegazione. Solo la parte che non capisco completamente è il motivo$V^{\,T}SV=\Lambda$... Mi sembra che dovrebbe essere uguale a qualcosa di più sulla falsariga di $\Lambda^T \Lambda$ poiché ogni autovettore avrebbe dovuto essere scalato quando moltiplicato a destra perché $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$.
È vero che $V^{\,T}SV=\Lambda$? Se lo è, un piccolo aiuto per vedere perché sarebbe apprezzato.
Un modo in cui ci ho pensato.
$$ V^TSV = V^T(SV) = V^T \begin{bmatrix} \lambda_1 \vec{v_1} & ... & \lambda_n \vec{v_n} \end{bmatrix} $$ Il modo di pensare $SV$ è che ogni colonna di $V$ è un autovettore che moltiplica le colonne di $S$. Sappiamo già che cosa questa combinazione sarà uguale alla definizione di un autovettore$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$. Infine, quando a destra si moltiplica per$V^T$ ricordati che $\vec{v}_i^{\,T}\vec{v_j}=1$ è $1$ quando $i=j$ e $0$ quando $i\neq j$ per definizione di vettori ortonormali.
Chiaramente finiamo con $\Lambda$ come risultato.
Risposte
Sì, è vero $V^TSV = \Lambda$. Ci sono diversi modi in cui possiamo capire perché questo vale; un modo è confrontare ciò che ciascuna matrice "fa" con un vettore colonna.
Permettere $\vec c$ denota il vettore colonna $\vec c = (c_1,\dots,c_n)$. Verificalo$\Lambda \vec c = (\lambda_1 c_1,\dots,\lambda_n c_n)$.
Ora consideriamo il prodotto $V^TSV \vec c = V^T(S(V\vec c))$. Lo troviamo$$ V \vec c = \pmatrix{\vec v_1 & \cdots & \vec v_n} \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n} = c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n. $$ In altre parole, il ruolo di $V$ è interpretare le voci di $\vec c$ come i coefficienti dei vettori $\vec v_1,\dots,\vec v_n$. Da lì, lo vediamo perché ciascuno$v_i$ è un autovettore di $S$, noi abbiamo $$ S(V\vec c) = S(c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n) = c_1 \lambda_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \lambda_n \vec v_n. $$ Infine, nota che (because $V$ è ortogonale) $V^T$ è l'inverso di $V$. Quindi, proprio come$V$ interpreta il "vettore di input" come un elenco di coefficienti per $v_i$, $V^T$ prende un vettore e ci fornisce l'elenco dei coefficienti per il $v_i$come suo output. Questo è,$$ V^T(S(V\vec c)) = (c_1 \lambda_1) \vec v_1 + \cdots + (c_n \lambda_n) \vec v_n = (c_1 \lambda_1,\dots,c_n \lambda_n). $$ Quindi davvero, $V^TSV$ e $\Lambda$ descrivono la stessa trasformazione e sono quindi la stessa matrice.
Possiamo pensare $V^TSV$ come una versione modificata di $S$ dove, invece di pensare alle voci di un vettore (sia in ingresso che in uscita) come coordinate letterali di un vettore, le interpretiamo come i coefficienti dei nostri vettori $v_i$. In termini di terminologia che potresti aver già sentito prima, lo diciamo$\Lambda$ è la matrice di $S$ "dopo un cambio di base".