Esempi di conduttore a T?

Question

Sto lottando con la comprensione del concetto di un conduttore a T in algebra lineare. Conosco la definizione, ma alcuni esempi sarebbero utili.

Definizione. Permettere$W$ essere un sottospazio invariante per $T$ e lascia $\alpha$ essere un vettore in $V$. Il$T$-conduttore di $\alpha$ in $W$ è il set $S_T(\alpha;W)$, che consiste di tutti i polinomi $g$ (sul campo scalare) tale che $g(T)\alpha$ è dentro $W$. (p.201, Sez. 6.4)

Ho bisogno di alcuni esempi di conduttori a T.

Grazie in anticipo

Answer 1

Ecco un esempio. Permettere$T:\Bbb C^4 \to \Bbb C^4$ essere la trasformazione associata alla matrice della forma di Jordan $$ \pmatrix{\mu&1&0&0\\0&\mu&0&0\\ 0&0&\lambda&1\\0&0&0&\lambda}. $$ Permettere $W$ denota il sottospazio attraversato dal vettore $e_1 = (1,0,0,0)$. Permettere$e_1,\dots,e_4$ denotano la base standard di $\Bbb C^n$. Descriviamo ora$S_T(\alpha;W)$ per diversi vettori differenti $\alpha$:

• Per $\alpha = e_2$, $S_T(\alpha;W)$ è l'insieme dei polinomi divisibili per $p(t) = (t-\mu)$
• Per $\alpha = e_3$, $S_T(\alpha;W)$ è l'insieme dei polinomi divisibili per $p(t) = (t-\lambda)(t-\mu)$
• Per ogni $\alpha$ fuori dall'arco di $\{e_1,e_2,e_3\}$, $S_T(\alpha;W)$ è l'insieme dei polinomi divisibili per $(t-\mu)(t-\lambda)^2$.
• Per ogni $\alpha \in W$, $S_T(\alpha;W)$è l'insieme di tutti i polinomi
• Per ogni $v \in \Bbb C^4$ e $\alpha = e_1 + v$, $S_T(\alpha;W) = S_T(v;W)$