Il "vero effetto farfalla"
Questa domanda nasce dalla confusione che provo dopo aver letto questo popolare post sul blog di Sabine Hossenfelder. Si basa su questo documento che purtroppo è protetto da paywall.
L'affermazione è la seguente:
Piuttosto, come presentato nel suo articolo Tellus del 1969, Lorenz intendeva la frase per descrivere l'esistenza di una barriera di predicibilità assoluta a tempo finito in alcuni sistemi fluidi multiscala, che implica una rottura della dipendenza continua dalle condizioni iniziali per tempi di consegna previsti sufficientemente ampi.
L'interruzione della continuità è stata una completa sorpresa per me, e infatti, ecco la mia bozza della prova del contrario:
- Considera lo spazio vettoriale lineare delle funzioni con supporto compatto sullo spazio delle fasi, aumentato con il solito $L_2$ norma.
- Definisci l'azione dell'Hamiltoniana (classica) sulle funzioni di $ \hat{H} A = - i \left\{H, A \right\}_{PB}$. Si noti che con questa definizione l'operatore è autoaggiunto (può essere dimostrato da un argomento che coinvolge l'integrazione per parti).
- Secondo il teorema di Stone , ci deve essere un gruppo 1-parametrico fortemente continuo di traslazioni temporali, quindi la ripartizione della dipendenza continua dalle condizioni iniziali è impossibile.
Poiché la mia conclusione apparentemente contraddice la conclusione nell'abstract di Palmer et al., Vorrei sapere cosa esattamente va storto che può portare a una barriera di prevedibilità a tempo finito in sistemi che esibiscono il "vero effetto farfalla".
Aggiornamento: un argomento molto più semplice di un mio amico: prendere$U(T/2)$ (operatore di evoluzione associato all'intervallo di tempo $T/2$ dove $T > 0$è la presunta barriera di prevedibilità). Per costruzione è continuo, come$T / 2 < T$. Quindi,$U(T/2)^4 = U(2T)$è anche continuo. Questo ci permette di vedere nel futuro che è più distante della barriera con un operatore continuo, che è in contraddizione con il presupposto originale. Concludiamo quello$T$ deve essere infinito o zero.
Risposte
Ci sono alcuni problemi con il post sul sito web. Non riesco a capire come passare dalle equazioni di Navier-Stokes , che sono PDE , a qualche sistema ODE (equazioni di Lorenz?) Che sembrano essere oggetto della discussione (guardando anche alla formulazione della domanda del Prof.Legolasov). Purtroppo non ho accesso alla carta.
Da un punto di vista matematico puro è tutto chiaro, quindi il problema deve riguardare la modellazione fisica : qualche scomposizione della descrizione matematica dovrebbe avvenire ad un certo livello per ragioni fisiche, ma senza leggere l'articolo è difficile discuterne.
Ecco una breve descrizione dello scenario matematico riguardante la dipendenza dai dati iniziali.
Ogni sistema ODE (autonomo) come quello di Lorenz può essere scritto come$$\frac{dx}{dt} = F(x(t))\tag{1}$$ dove $x\in M$, $M$ essere alcuni $C^k$ collettore e $F$ un $C^k$ campo vettoriale attivo $M$ con $k\geq 1$.
Ora è un risultato standard della teoria ODE che, se $x=x(t|x_0)$ è la soluzione massima di (1) con la condizione iniziale $x(0)= x_0\in M$, così definito in un intervallo aperto $I_{x_0}\ni 0$, poi
(1) il set $$D:= \left\{(t,x_0) \in \mathbb{R}\:\left|\: t \in I_{x_0}, x_0 \in M \right.\right\}$$ è aperto in $\mathbb{R}\times M$
(2) la mappa $$\Phi : D\ni (t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0):= x(t,x_0) \in M$$ è congiuntamente $C^k$ (e $C^{k+1}$ nella variabile $t$).
Quindi, nell'intero dominio della soluzione c'è un file $C^k$(quindi continua) dipendenza dai dati iniziali. In particolare, quando si riparano alcuni$T$, la mappa $$M_T \ni x \mapsto \Phi_T(x)\:,$$ dove $M_T = \{x \in M \:|\: (x,T) \in D\}$, è necessariamente continuo.
Se invece si tratta di PDE vere e proprie, equazioni di Navier-Stokes appunto, le cose sono molto più delicate e, come è ben noto. Solo la prova di un teorema di esistenza e unicità per dati iniziali dati (che ora sono funzioni) è problematica. La dipendenza continua dalla data iniziale è ancora più problematica.
Per quanto riguarda il suggerimento del professor Legolasov, ho dei problemi con esso.
(a) Ci riferiamo al sistema ODE di Lorenz? Questo non è hamiltoniano poiché la varietà ha una dimensione strana, quindi cos'è$H$?
(b) Stiamo invece usando una struttura di Poisson non simplettica?
(c) Avanti, anche facendo riferimento a $L^2(M)$ (quale misura?) su una varietà di Poisson $M$, $$-i\{H, \cdot\} : C^\infty_c(M) \to L^2(M)$$ è simmetrico per esempio in $\mathbb{R}^{2n}$riferito alla struttura euclidea naturale e alla struttura simplettica standard in coordinate cartesiane ortonormali, ma non è necessariamente essenzialmente autoaggiunto (essenzialmente l'autoadjointness della PDE sulle varietà Riemanniane è una questione delicata ei risultati generali sono noti per gli operatori ellittici e$-i\{H, \cdot\}$ non è ellittica in generale [quale metrica Riemanniana in generale quando siamo dotati solo di una struttura di Poisson?]).
(d) Infine, anche se produciamo un gruppo unitario fortemente continuo generato da qualche estensione autoaggiunta di $-i\{H, \cdot\}$, Non vedo la relazione con la dipendenza continua dai dati iniziali dell'ODE associata a $H$.
Ecco cosa probabilmente manca.
Tale limite di prevedibilità richiedeva l'esistenza di un meccanismo di feedback che operasse durante ogni fase temporale della simulazione. Il feedback amplifica cumulativamente la sensibilità alle condizioni iniziali e ingrandisce gli effetti degli errori di arrotondamento e discretizzazione negli algoritmi e quindi fa divergere il sistema dopo un certo numero di iterazioni. Questo effetto non si vede se il percorso di feedback è interrotto.