Insolita definizione di Cantor set

Question

Ho visto più definizioni di insiemi di cantori ma hanno un aspetto diverso dal mio. Il mio libro definisce un cantore impostato come:

L'insieme di tutti i numeri reali del modulo $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}3^{-n}$ dove $a_{n}$ prende l'uno o l'altro dei valori $0$ o $2$.

Come è questo un set? Non capisco cosa intendono con "dove$a_{n}$ prende l'uno o l'altro dei valori $0$ o $2$"significa questo $a_{n}$ si alternano come $0$, $2$, $0$, $2$? Ragazzi, potete darmi alcuni valori in questo set? E cosa c'entra con questa immagine che vedo ovunque?

Answer 1

Il tuo libro significa che l'insieme del cantore è l'insieme dei numeri $x$ che è possibile scrivere nel modulo $\sum_{n=1}^{\infty}a_n3^{-n}$ per qualche sequenza $a_n$ dove ciascuno $a_n$ è l'uno o l'altro $0$ o $2$. Un po 'meno densamente, potresti dire:

• Un numero in $[0,1]$ è nell'insieme di Cantor se può essere scritto come il doppio della somma delle potenze distinte di $3$.

• Un numero $x$ in $[0,1]$ è nell'insieme di Cantor se ha un'espansione ternaria che non usa mai a $1$. (Questo è lo stesso di sopra, rendendosi conto che le espansioni ternarie sono solo "scrivi un punto decimale quindi un mucchio di numeri$\{0,1,2\}$ e considera la somma di $n^{th}$ tempi di termine $3^{-n}$ complessivamente $n$")

Il particolare $x$ dove $a_n$ si alterna tra $0$ e $2$ è quindi nel set di Cantor (this $x$ pari $1/4$), ma ci sono innumerevoli altre sequenze $a_n$ i cui unici valori sono $0$ e $2$, che producono tutti elementi distinti dell'insieme di Cantor.

L'immagine che mostri mostra la costruzione dello stesso set prendendo un intervallo e rimuovendo ripetutamente il terzo medio di ogni intervallo. Questo produce una sequenza di set che diventano sempre più piccoli e l'intersezione di tutti questi set è l'insieme del cantore, ed è esattamente lo stesso set definito dal tuo libro. L'equivalenza è più chiara nelle espansioni ternarie:

All'inizio, hai l'intervallo $[0,1]$. Quindi rimuovere l'intervallo$(1/3,2/3)$ perché il primo termine della loro espansione ternaria deve essere $.1\ldots_3$, nel senso che non possono essere scritti nella forma desiderata. Quindi, rimuovi$(1/9,2/9)$ e $(7/9,8/9)$ le cui espansioni ternarie iniziano $.01\ldots_3$ e $.21\ldots_3$ perché, mentre la loro prima cifra va bene (essere $0$ o $2$), la loro seconda cifra non lo è. Dovresti quindi rimuovere quei numeri di cui iniziano le espansioni ternarie$.001\ldots_3$ o $.021\ldots_3$ o $.201\ldots_3$ o $.221\ldots_3$ e così via - e gli unici numeri rimasti alla fine sarebbero quelli che possono essere scritti con un'espansione ternaria contenente solo $0$è e $2$'s - che è esattamente l'insieme di numeri che possono essere scritti nella forma del tuo libro.