L '"ultimo degli assi"

Question

Hai un mazzo di 52 carte completamente mescolato. Ogni volta che scegli una carta dal mazzo. La carta pescata viene rimessa nel mazzo e tutte le 52 carte vengono nuovamente mescolate completamente. Continui questa procedura finché non hai visto tutti e quattro i diversi assi. Qual è il valore atteso e la deviazione standard del numero di volte in cui devi pescare una carta prima di aver visto tutti e quattro i diversi assi?

Chiaramente il problema è che posso pescare lo stesso asso più e più volte, quindi dovrei contare il numero di carte che ho pescato tra $k-1$esimo successo e il $k$esimo successo (cioè dire, ad esempio, le carte pescate tra il terzo e il quarto asso, una diversa dall'altra). Ma il fatto che gli assi debbano essere diversi è legato al fatto che una volta pescato un asso questo asso viene rimesso nel mazzo implica che una volta pescato il terzo asso il "gioco" ricomincia da zero, quindi devo calcolare il numero di tentativi (carte pescate) necessarie per avere il primo successo (cioè dire il quarto e ultimo asso non ancora visto).

Quindi se $X_i=[$# carte pescate prima del $i$asso$]$, ce l'abbiamo $X_1,X_2,X_3,X_4\sim\operatorname{Geo}(p)$.

Come posso usarlo per risolvere il problema? Grazie in anticipo per qualsiasi aiuto.

Answer 1

Permettere $X$ denota la variabile casuale che denota il numero di prove da ottenere $4$assi. Possiamo dividere$X$ in $4$ variabili casuali separate, che chiameremo $X_1$ (il numero di tentativi per tirare il primo asso), $X_2$ (il numero di tentativi per tirare il secondo asso dopo aver tirato il primo), $X_3$ (il numero di tentativi per tirare il terzo asso dopo aver tirato il secondo) e $X_4$(il numero di tentativi per tirare il quarto asso dopo aver tirato il terzo). La distribuzione di probabilità delle variabili è la distribuzione geometrica. Per una distribuzione geometrica, abbiamo$E[Y]=\frac1p$ e $\text{Var}(Y)=\frac{1-p}{p^2}$.

La possibilità di ottenere il nostro primo asso in una prova è $\frac4{52}=\frac1{13}$ così $E[X_1]=13$ e $\text{Var}(X_1)=156$. La possibilità di ottenere il nostro terzo asso in una prova è$\frac3{52}$ così $E[X_2]=\frac{52}3$ e $\text{Var}(X_2)=\frac{2548}9$. La possibilità di ottenere il nostro terzo asso in una prova è$\frac2{52}=\frac1{26}$ così $E[X_3]=26$ e $\text{Var}(X_3)=650$. La possibilità di ottenere il nostro terzo asso in una prova è$\frac1{52}$ così $E[X_3]=52$ e $\text{Var}(X_4)=2652$.

Perché $X_1$, $X_2$, $X_3$ e $X_4$ sono indipendenti, possiamo aggiungere direttamente i valori e le varianze attesi per ottenere il valore e la varianza attesi $X$. abbiamo

$$E[X]=E[X_1]+E[X_2]+E[X_3]+E[X_4]=13+\frac{52}3+26+52=108\frac13$$

e

$$\text{Var}(X)=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\text{Var}(X_3)+\text{Var}(X_4)=156+\frac{2548}9+650+2652=\frac{33670}9$$

Per trovare la deviazione standard prendiamo la radice quadrata della varianza, ovvero:

$$\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{\frac{33670}9}=\frac{\sqrt{33670}}3\approx61.164$$