Mappa corretta su $n$-sfera

Question

Le funzioni proprie sono definite su spazi topologici.

Per le funzioni $f:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}^d$le condizioni "semplificare" a$\lim_{x\rightarrow \infty}|f(x)|=\infty$.

Sono note "simplicazioni" simili per funzioni sulla n-sfera $S^{d}=\{x\in\mathbb{R}^{d+1} \mid \|x\|=1\}$, cioè $f:S^{d}\rightarrow S^{d}$?

Answer 1

Una funzione $f$ a partire dal $\mathbb{S}^d$ a se stesso è corretto se e solo se è continuo.

Nota che $\mathbb{S}^d$ è compatto e quindi ogni suo sottoinsieme chiuso è compatto e viceversa

• Continuo$\rightarrow$corretto. Ogni funzione continua$f:\mathbb{S}^d\to \mathbb{S}^d$ è corretto, da allora $f^{-1}$ invia insiemi chiusi (= compatti) a insiemi chiusi (= compatti).

• Corretto $\rightarrow$continuo. Ogni funzione adeguata$f:\mathbb{S}^d\to \mathbb{S}^d$ è tale che $f^{-1}$invia insiemi compatti (= chiusi) a insiemi compatti (= chiusi). Questa è una delle possibili definizioni di continuità

Il risultato è vero in una forma più generale: dato uno spazio compatto Hausdorff $X$, $f:X\to X$ è corretto se è continuo,