Non bloccabilità della massima entropia quantistica

Question

La possibilità di chiudere a chiave e non di bloccare sono spiegate in questo documento . Una funzione di valore reale di uno stato quantistico è chiamata non bloccabile se il suo valore non cambia troppo dopo aver scartato un sottosistema. La massima entropia di uno stato quantistico è definita come

$$H_{\max }(A)_{\rho}= \log \operatorname{tr}(\rho_{A}^{1 / 2})$$

Per uno stato quantistico bipartito $\rho_{AB}$, Vorrei sapere se la max-entropia non è bloccabile, ovvero esiste una relazione della forma

$$\text{tr}(\rho_{AB}^{1/2}) \leq \text{tr}(\rho_{A}^{1/2})\cdot|B|$$

che, dopo aver preso i tronchi da entrambi i lati, avrebbe ceduto

$$H_{\max}(AB)\leq H_{\max}(A) + \log|B|$$

Un paio di semplici esempi numerici suggeriscono che questo potrebbe essere vero, ma non sono stato in grado di dimostrarlo.

Answer 1

Permettere $D_{\alpha}(\rho\|\sigma):= \frac{1}{\alpha - 1} \log \mathrm{Tr}[\rho^\alpha \sigma^{1-\alpha}]$ essere la divergenza Petz-Rényi per $\alpha \in (0,1)\cup(1,\infty)$. Nota che per$\alpha \in (0,1)\cup(1,2]$questa quantità soddisfa la disuguaglianza nell'elaborazione dei dati $$ D_{\alpha}(\rho\|\sigma) \geq D_{\alpha}(\mathcal{E}(\rho) \| \mathcal{E}(\sigma)), $$ dove $\mathcal{E}$ è una qualsiasi mappa CPTP.

Adesso molla $\rho_{AB}$ sii qualsiasi stato e prendi $\mathcal{E}$ essere la traccia parziale sul $B$sistema. Quindi per$\alpha = 1/2$ noi abbiamo $$ \begin{aligned} -2 \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{AB}] &= D_{1/2}(\rho_{AB}\|I_{AB}) \\ &\geq D_{1/2}(\mathrm{Tr}_{B}[\rho_{AB}]\|\mathrm{Tr}_{B}[I_{AB}]) \\ &= D_{1/2}(\rho_{A}\||B|I_{A}) \\ &= -2 \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{A} |B|^{1/2}] \end{aligned} $$

Riorganizzare si ottiene $$ \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{AB}] \leq \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{A}] + \log|B|^{1/2} $$ che in realtà è una disuguaglianza leggermente più forte con l'esponente di $|B|$ essere solo $1/2$.