Perché è un integrale ellittico?

Question

Gli integrali ellittici sono integrali della forma $\int R\left[ t, \sqrt{P(t)} \,\right] \, dt$, dove $P(t)$ è un polinomio di terzo o quarto grado e $R$ è una funzione razionale.

Quanto sopra è la definizione di un integrale ellittico, capisco la definizione. Ma poi in base alla definizione perché la seguente funzione è un integrale ellittico:

$$f(x)=\int^{\frac{L}{15}}_{0} \sqrt{{(x^{2}-A)}^{2}+B}\ dx$$

Mi è stato detto che la funzione di cui sopra è un integrale ellittico, tuttavia secondo la definizione non soddisfa tutti i criteri. L'integrando è un polinomio di quarto grado sotto la radice quadrata. Tuttavia, la funzione non è razionale. Allora come può essere un integrale ellittico?

Viene in qualche modo espanso in modo che integrando diventi razionale? Il mio obiettivo finale è trovare la soluzione a quell'integrale in modo analitico, ma al momento sono bloccato.

Non sono riuscito a trovare nulla di utile online, apprezzerei un aiuto. Grazie :)

Answer 1

La funzione è razionale quando$\sqrt{P(t)}$viene trattata come una variabile, quindi è ellittica. (C'è anche la condizione che$P(t)$ non ha radici ripetute, altrimenti un fattore può essere eliminato e l'integrale diventa elementare.)