perché $E = X \setminus \{ x: \chi_E (x) < \frac{1}{2} \}?$

Question

Nella dimostrazione seguente, ho una confusione nell'ultima riga qui.

Dimostra che la funzione caratteristica di un insieme$E$è misurabile$\iff$E è misurabile.
Prova: supponiamo che$E$è un insieme misurabile in uno spazio di misura$X$. Se$\alpha \le 0$, poi$\{x:\chi_E(x)<\alpha\}=\phi$, un insieme misurabile. Se$\alpha>1$, poi$\{x:\chi_E(x)>\alpha\}=X$, un insieme misurabile. Infine, se$0< \alpha \le 1$, poi$\{x:\chi_E(X)<\alpha\}=X\backslash E$, un insieme misurabile. Lo concludiamo$\chi_E$è una funzione misurabile.
Supporre che$\chi_E$è una funzione misurabile. Quindi$\textbf{$E=X\barra rovesciata\{x:\chi_E(x)<1/2\}$}$è un insieme misurabile.

Il mio tentativo : ecco dato che$\{ x: \chi_E (x) < \alpha \} = X \setminus E$dove$0 <\alpha \le 1$

Secondo il mio pensiero$\{ x: \chi_E (x) < \alpha \} = E$dove$0 \le \alpha < 1$

Non capisco perché$E = X \setminus \{ x: \chi_E (x) < \frac{1}{2} \}?$

Answer 1

$\chi_E(x) \ge 1/2$, intendo quello$\chi_E(x) \ge 1/2$, cioè$\chi_E(x) =1$e$x \in E$.

Viceversa se$x \in E$poi$\chi_E(x)=1$,$\chi_E(x) \ge 1/2$e$\chi_E(x) \ge 1/2$.

Ricorda che la mappa caratteristica richiede solo$0$o$1$per i valori.

Answer 2

$\chi_E$prende solo due valori$0$e$1$. Così$\chi_E(x) \geq \frac 1 2$se$\chi_E(x)=1$se$x \in E$. così$x \in E$se non è vero$\chi_E(x) <\frac 1 2 $.