Perché $\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$?

Question

Il mio problema:

Supponiamo $\mathcal{E}$ e $\mathcal{H}$ sono sub-$\sigma$-algebre del $\sigma$-algebra $\mathcal{F}$. Permettere$X \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ e $\sigma(X)=\{X^{-1}(A): A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \}$. Supporre che$\mathcal{E}$ è indipendente da $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$.

Poi $$\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$$

Il mio tentativo:

Ho provato a utilizzare la caratterizzazione $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]Z]$ per tutti $\mathcal{H}$-variabile casuale misurabile e limitata o $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\sigma(X))]Z]$ per tutti $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$-Variabile casuale misurabile e limitata.

Answer 1

Questo è un risultato molto noto di Doob.

Teorema: Let$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ e $\mathscr{C}$ essere sub-$\sigma$-algebre di $\mathscr{F}$. $\mathscr{A}\perp_\mathscr{C} \mathscr{B}$ iff $$ \begin{align} \Pr[A|\sigma(\mathscr{C},\mathscr{B})]=\Pr[A|\mathscr{C}]\tag{1}\label{doob-independence} \end{align} $$ per tutti $A\in \mathscr{A}$.

Ecco una prova del colpo:

Supporre che $\mathscr{A}$ e $\mathscr{B}$ sono condizionali indipendenti dati $\mathscr{C}$, questo è $$ \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr[A|\mathscr{C}] \Pr[B|\mathscr{C}] $$ per tutti $A\in \mathscr{A}$ e $B\in \mathscr{B}$. Quindi, per qualsiasi$A\in\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ e $C\in\mathscr{C}$ noi abbiamo $$ \begin{align} \Pr\big[A\cap\big(C\cap B)\big]&=\Pr\big[ \mathbb{1}_C\Pr[A\cap B|\mathscr{C}]\big]= \Pr\big[\mathbb{1}_C\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}]\big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B\cap C|\mathscr{C}]\big]= \Pr\Big[\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big|\mathscr{C}\big]\Big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big] \end{align} $$ Da $\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})=\sigma\Big(\{B\cap C: B\in\mathscr{B}, C\in\mathscr{C}\}\Big)$, un argomento di classe monotono lo mostra $$ \begin{align} \Pr[A\cap H]=\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_H \big] \end{align} $$ per tutti $H\in\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})$. Ciò significa che$$ \Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]=\Pr[A|\mathscr{C}] $$

Al contrario, supponiamo che $\eqref{doob-independence}$tiene. Per ogni$A\in\mathscr{A}$ e $B\in\mathscr{B}$ noi abbiamo \begin{align*} \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr\Big[\mathbb{1}_{B}\Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]\Big| \mathscr{C}\Big]= \Pr\Big[\mathbb{1}_B\Pr[A|\mathscr{C}]\Big|\mathscr{C}\Big] =\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}] \end{align*} Questo dimostra che $\mathscr{A}$ e $\mathscr{B}$ sono dati indipendenti $\mathscr{C}$.

L'estensione a variabili casuali viene eseguita espandendosi prima a funzioni semplici e poi con la consueta approssimazione monotona mediante funzioni semplici.