Perché una matrice è chiamata operatore?

Question

Ho sentito il mio insegnante di matematica menzionare che una matrice è un operatore. Questo mi ha confuso, quindi ho cercato cosa fosse un operatore. In termini semplici, è una funzione che mappa da uno spazio a un altro spazio. Gli esempi che posso pensare sono i seguenti:

\ begin {equation} f (x) = x ^ {2} \ end {equation} Questa funzione accetta un numero nell'insieme di tutti i numeri complessi e restituisce un altro numero nell'insieme di tutti i numeri complessi, ed è quindi un operatore .

\ begin {equation} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} f (x) = \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} (x ^ {2} + 2x + 3) \ end {equation} Il file$\mathrm{d}/\mathrm{d}x$ ecco un operatore in quanto prende una funzione da un insieme di funzioni che possono avere coefficienti complessi e restituisce un'altra funzione che può avere coefficienti complessi.

Quindi capisco perché entrambi sono "operatori". Ma diamo un'occhiata a una matrice:

\ begin {equation} \ mathbb {M} = \ begin {pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \ end {pmatrix} \ end {equation}

Come può essere chiamato un operatore? Non prende alcun elemento da un set e quindi emette un elemento da un altro set. Lo considero simile a uno scalare, come$3$—Non è un operatore, ma puoi usare un operatore, come addizione o moltiplicazione su scalari, e l'addizione o la moltiplicazione può essere considerata un operatore.

Perché una matrice come $\mathbb{M}$essere chiamato operatore? Può qualsiasi$n$-rano tensore quindi essere chiamato anche un operatore se una matrice è un operatore?

Answer 1

In un certo senso hai ragione sul fatto che una matrice non è un operatore di per sé nel senso che la definisci. In effetti, una matrice non è altro che un array di numeri. Tuttavia, in genere identifichiamo una matrice$A\in \mathcal{M}_{n\times m}(\Bbb{R})$ con la mappatura associata $\Bbb{R}^m\to \Bbb{R}^n$definisce per moltiplicazione a sinistra. In questo modo diventa un operatore nel senso che hai definito in modo canonico. Ad esempio, la tua matrice$M$ definisce una trasformazione $\Bbb{R}^2\to \Bbb{R}^2$ di $$ \begin{bmatrix} 3&2\\ 4&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3x_1+2x_2\\ 4x_1+x_2 \end{bmatrix} .$$ Questo è $(x_1,x_2)\mapsto (3x_1+2x_2, 4x_1+x_2)$.