Prova per $\max(A+B) = \max(A) + \max(B)$ corretta?

Question

Ciao, sto cercando di dimostrare quanto segue: Let $A, B \subset \mathbb {Q}$ e $A+B = \{a+b: a\in A, b \in B\}$.

Supponiamo $\max(A)$ e $\max(B)$ esistere, dimostrarlo $\max(A+B)$ esiste anche e quello

$$\max(A+B)= \max(A) + \max(B)$$

Ho la seguente prova non sono sicuro che sia corretto:

Il numero reale $\max(A) + \max(B) \geq x$ per tutti $x \in A+B$

Da $\max(A) \in A$ e $\max(B) \in B$ la definizione di $A+B$ quello $\max(A+B) \in A+B$ tiene.

Adesso molla $x \in A+B$. $\Rightarrow$ lì esiste $a \in A$ e $b \in B$ tale che $x = a+b$

Secondo la definizione di $\max$ però, $\max(A) \geq a$ e $\max(B) \geq b$.

Perciò $\max(A) + \max(B) \geq a+b = x$

Questa prova è corretta?

Answer 1

La tua dimostrazione è corretta, ma un po 'ridondante. L'hai dimostrato$\max(A)+\max(B) \ge x$ per tutti $x \in A+B$e hai spiegato come $\max(A)+\max(B) \in A+B$. Questo è sufficiente per mostrare ciò di cui abbiamo bisogno, poiché abbiamo trovato un limite superiore$A+B$ che appartiene anche a $A+B$, quindi è il massimo.