Quando un percorso limite multivariabile è indipendente?

Question

Quando ho avuto il calcolo, mi è stato insegnato che il limite di un limite multivariabile può essere dipendente dal percorso. Quindi, per verificare se esiste un limite, dovresti, in teoria, controllare ogni possibile percorso, che è infinitamente molti. Quindi come faccio a calcolare effettivamente un limite multivariabile? Solo perché ho controllato un percorso, non significa necessariamente che il limite sarebbe lo stesso in ogni percorso?

Esiste un modo semplice per sapere se un limite è indipendente dal percorso o quando un limite multivariabile potrebbe essere dipendente dal percorso?

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Considera il limite:

$$\lim _{(x, y) \rightarrow(2,3)} 2x^3-y^{2}=16-9=7$$ Come faccio a sapere che posso semplicemente inserire i valori in questo caso?

$$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}$$ So che questo limite non esiste, perché se vai lungo il sentiero $y=mx$ il limite è 0. Ma se vai lungo la parabola $y=\pm x^2$ il limite è $\pm \frac{1}{2}$.

In che modo questi due casi sono diversi. Voglio dire, come puoi vedere immediatamente che il primo caso è indipendente dal percorso, ma il secondo potrebbe non esserlo?

Answer 1

Cerchi la continuità (ma la continuità in un senso multi-variabile). La prima espressione è solo un polinomio, quindi non c'è modo di interrompere la continuità. Ma il secondo ha un denominatore, che viene fornito con restrizioni come quando il denominatore = 0.

Answer 2

Anche se non hai ancora una definizione formale di continuità, puoi dare un'occhiata all'espressione

$$\lim_{(x,y)\to(2,3)}2x^3-y^2$$

e penso che queste funzioni siano abbastanza "carine" (non stiamo facendo nulla di illegale come la divisione per zero da nessuna parte), quindi inseriamo i numeri e proviamo a dimostrarlo per qualsiasi $\epsilon > 0$ lì esiste $\delta > 0 $ tale che

$$\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2} < \delta \implies |2x^3-y^2-7| < \epsilon$$

ricentrando il nostro polinomio

$$2(x-2+2)^3-(y-3+3)^2 - 7$$

$$ = 2(x-2)^3+12(x-2)^2+24(x-2)+16-(y-3)^2-6(y-3)-9-7$$

$$ = 2(x-2)^3+12(x-2)^2+24(x-2)-(y-3)^2-6(y-3)$$

Ciò significa che per disuguaglianza triangolare (più una restrizione di dominio) lo abbiamo

$$|2x^3-y^2-7| < 38|x-2|+7|y-3| = 45\left[\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}\right]$$

così possiamo dimostrare il nostro limite scegliendo

$$\delta = \min\left(1,45\epsilon\right)$$

La bellezza di questo è che questa è una disuguaglianza senza un appello alla continuità. Potremmo fare qualcosa di simile con il teorema di compressione. Ma comunque, più tardi, torniamo indietro e guardiamo a queste funzioni in cui ci è stato permesso di collegare le cose e ottenere comunque il limite e formalizzare ciò che le rendeva speciali.

Answer 3

Nel primo caso la funzione è continua nel punto, poiché è una composizione di funzioni elementari continue ed è definita in quel punto, cioè

$$\lim _{(x, y) \rightarrow(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

in questo caso il limite esiste sempre ed è quindi "path independent".

Nel secondo caso la funzione non è definita nel punto e in questo caso il limite potrebbe non essere "path independent".

Fare riferimento anche al relativo

• Come dimostrare che tutte le funzioni elementari sono continue nel loro dominio?