Se $|\int fg| \le M\|f\|_p$ per tutti $f\in L^p$, dimostralo $g \in L^{q}$ e $\|g\|_q \le M$, dove $1/p +1/q=1$

Question

Permettere $g$ essere una funzione integrabile su $[0,1]$ e lascia $1 \leq p < \infty$. Supponiamo che ci sia una costante$M$ tale che

$$ \left|\int f \;g \right| \leq M \; \|f\|_p $$ per tutte le funzioni misurabili limitate $f$.

Dimostralo

un) $g \in L^q$ e

b) $||g||_q \leq M$ dove $q$ è il numero coniugato di $p$ (es $1/p + 1/q =1$ ).

Per a), ho usato la disuguaglianza di Holder per ottenere

\begin{align}\left|\int f \; g \right| &\leq \int |f \; g| \\ &= \|f \; g \|_1 \\ &\leq \|f\|_p \|g\|_q \end{align}

Così $g \in L^q$. Non sono sicuro di come rilegare$\|g\|_q $ di $M$. Il teorema di rappresentazione di Riesz è usato qui?

Answer 1

Puoi infatti usare il teorema di rappresentazione di Riesz per risolvere il problema. Le ipotesi$$ \left| \int f g \right | \leq M \| f\|_{p}$$ mostra in particolare che l'elemento $g$ definisce un funzionale continuo lineare $T_g$ nello spazio $L^{p}$ tramite la relazione $$T_g(f) = \int f g.$$ Ora, il teorema di rappresentazione di Riesz ti dice che esiste un unico $h \in L^{q}$ che rappresenta il funzionale $T_g$ nel senso che $$T_g(f) = \int hf \hspace{0.9 cm} \text{for any $f \ in L ^ {p}$.}$$ Inoltre, il teorema lo afferma $\|T_g\| = \|h\|_{q}$. Da questo puoi dedurlo$g=h$ e visto che l'hai già visto $\|T_g\| \leq M$, lo ottieni immediatamente $\|g \| \leq M.$

Answer 2

Lo presumo $g$ è davvero prezioso e $p>1$. (Il caso$p=1$ è simile).

Dimostrerò b) direttamente e a) segue da b).

Permettere $N$ essere un numero intero positivo e $f=(sgn \,g)|g|^{q/p}I_{|g| \leq N}$ dove $q$è l'indice coniugato. Poi$g$ è limitato e la disuguaglianza data diventa $\int_{|g| \leq N} |g|^{q} \leq M (\int_{|g| \leq N} |g|^{q})^{1/p}$. Questo implica che$(\int_{|g| \leq N} |g|^{q})^{1/q} \leq M$. adesso molla$N \to \infty$.