Sistema moltiplicativo di un anello e di una categoria
Se A è una qualsiasi categoria, una classe di morfismi$S$in A si dice che sia un sistema moltiplicativo se$(a)$ è chiuso per composizione, cioè: $id_X$ è dentro $S$ per ogni $X$in A e ogni volta$f$ e $g$sono morfismi in A tali che la composizione$gf$ ha senso, quindi $gf$ è dentro $S$; $(b)$ qualsiasi diagramma del modulo $X\overset{f}\longrightarrow Y \overset{s}\longleftarrow Z$ con $s$ nel $S$ può essere completato come $\require{AMScd}$ \ begin {CD} W @> g >> Z \\ @VtVV @VVsV \\ X @ >> f> Y \ end {CD} con$t$ nel $S$. Lo stesso anche con tutte le frecce invertite. Infine$(c)$ per un paio di morfismi $f,g:X\to Y$ lì esiste $s$ nel $S$ con $sf=sg$ se e solo se esiste $t$ nel $S$ con $ft=gt$.
La mia domanda è: questa definizione coincide con la nozione di insieme moltiplicativamente chiuso per qualsiasi anello?$R$ se guardiamo $R$come categoria Ab con un solo oggetto? Certamente condizione$(a)$ fornisce esattamente ciò che desideriamo per un insieme chiuso moltiplicativamente (ovvero un sottoinsieme $S\subseteq R$ tale che $1\in S$ e $x,y\in S\Rightarrow xy,yx\in S$), e se $R$ è commutativo, $(b)$ e $(c)$ diventa evidente, ma nel caso di un anello non commutativo non riesco a trovare una prova di queste condizioni.
Qualcuno potrebbe fornire una prova o un controesempio? Se un controesempio è la risposta, c'è una ragione profonda per cui capita di funzionare solo nel caso commutativo, o è la nozione di sistema moltiplicativo da progettare solo per generalizzare questi casi?
Risposte
Sì, coincide, ma piuttosto banalmente (nel caso commutativo).
Guarda il tuo anello (commutativo unitale) $R$come categoria come segue. Il$R$-modulo di azione di $R$ di per sé induce un morfismo $\iota: R \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(R,R)$, quindi possiamo considerare la categoria con un oggetto (vale a dire $R$) e l'insieme dei morfismi è $\iota(R)$. Il fatto che questo forma un file$\mathbf{Ab}$-categoria fa parte degli assiomi di un anello. Hai bisogno che l'anello sia unitario perché il morfismo dell'identità sia presente, e la commutatività ti dà gli altri assiomi. Ad esempio, se ti viene dato$\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R @ <s << R \ end {CD} fondamentalmente ti vengono dati due elementi dell'anello originale$R$. Il diagramma può essere facilmente completato supponendo che$R$ è commutativo da allora $sf = fs$ porta al diagramma commutativo $\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R \\ @VsVV @VVsV \\ R @ >> f> R \ end {CD} L' istruzione (c) viene dimostrata in modo$t=s$. Non so come localizzare anelli non commutativi in sottoinsiemi$S$ in generale, ma scommetto che se queste idee avessero un senso, allora la localizzazione $S^{-1}R$ esisterebbe quando $R$è non commutativo nel caso specifico in cui quegli assiomi categorici sono soddisfatti, ma non in generale. Ho letto questo per sapere qualcosa sulla localizzazione non commutativa e non mi sembra così stimolante come la controparte commutativa.
Spero che aiuti,