Spettri e misurazioni continue
Supponiamo che io abbia una particella di cui misuro la quantità di moto $p$ con incertezza $\delta p$. Subito dopo la misurazione sappiamo che la sua funzione d'onda è data da$\psi(x)=\int g(p)e^{ipx/\hbar}dp$ (limitandosi a 1D per semplicità) con $g$ una certa funzione che è $0$ al di fuori $p-\delta p$, $p+\delta p$ e con $\int |g(p)|^2dp=1$.
Cos'altro possiamo dire su questa funzione $g$?
Mi andava bene non poter dire altro al riguardo, ma devo ammettere che, per esempio, lo sappiamo $g$non è mai molto più concentrato di quanto dovrebbe essere. Altrimenti, se prendessimo ad esempio il canone dell'esperimento di Stern-Gerlach (che lancia atomi d'argento a circa 500 m / s) e lo dirigessimo al centro di una porta, dovremmo vedere gli atomi rimbalzare indietro di tanto in tanto. Infatti se$g$è estremamente concentrato, l'onda risultante può essere abbastanza diffusa e si potrebbero vedere effetti di diffrazione. Ma non lo facciamo mai.
Risposte
Dipende dallo stato prima della misurazione. Se la funzione d'onda di pre-misurazione è data da alcuni$\psi_i(x)$, quindi la funzione d'onda post-misurazione $\psi_f(x)$ è la proiezione di $\psi_i(x)$ nel sottospazio dello spazio di Hilbert che è coerente con i risultati della misurazione.
Più concretamente, lascia $$\psi_i(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty A(p) e^{ipx/\hbar}dp$$
Se misuri la quantità di moto per essere nell'intervallo $p\in[p_0-\delta p, p_0 + \delta p]$ allora lo stato post-misurazione è semplicemente $$\psi_f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{p_0-\delta p}^{p_0 + \delta p} A(p) e^{ipx/\hbar}dp$$
Come nota a margine, la normalizzazione non viene automaticamente preservata dalla misurazione, ma va bene perché gli stati quantistici sono elementi dello spazio proiettivo di Hilbert e sono comunque ben definiti solo fino a una costante moltiplicativa complessiva. Di solito è conveniente normalizzare la funzione d'onda, ma tieni presente che dovrai normalizzarla nuovamente dopo una misurazione proiettiva.
"Se l'intervallo in cui misuri 𝑝 è abbastanza piccolo, puoi approssimare 𝑔 come funzione costante su quell'intervallo" Perché?
Perché finché $A$ è almeno continuo, quindi per un piccolo intervallo questo $g$
assomiglia molto a questo
Questo se si assume, come fa il mio libro di testo in modo molto implicito, che si possa in effetti approssimare 𝑔 con una costante, ma non vedo questo assunto da nessuna parte nei postulati.
No, questa è una semplice applicazione del principio di indeterminazione a un pacchetto d'onda. Per osservare gli effetti di diffrazione, è necessario che la diffusione del pacchetto d'onda sia almeno dello stesso ordine di grandezza della dimensione del foro. Ad esempio, un pacchetto di onde gaussiane che satura la relazione di incertezza, la diffusione in$p$ è inversamente proporzionale allo spread in $x$, il che implica che una grande delocalizzazione spaziale corrisponde a una quantità di moto localizzata in modo fantastico.