Teorema binomiale vs probabilità di una sequenza

Question

Nel libro di Daniel Kahneman "Thinking, Fast and Slow", offre il seguente esempio di come le nostre menti identificano i modelli causali per caso.

Un ospedale ha 6 bambini nati in un giorno. Sappiamo che le nascite maschili e femminili sono ugualmente probabili e le nascite sono indipendenti. Queste 3 sequenze sono ugualmente probabili?

BBBGGG GGGGGG BGBBGB

Intuitivamente non la pensiamo così, tuttavia, poiché gli eventi sono indipendenti, tutte e 3 le sequenze hanno la stessa probabilità (non lo afferma ma presumo che sia $0.5^6$).

La mia domanda è: come si concilia questo con il fatto che la probabilità di avere 6 ragazze su 6 nascite dal binomio è molto meno probabile di 3 ragazze (0,015625 vs 0,3125)? Se la domanda fosse su sequenze diverse dello stesso rapporto di nascite G / B, allora avrebbero tutte le stesse possibilità, ma non riesco a vedere come sia vero nella sua forma attuale.

Answer 1

La mia domanda è: come si concilia questo con il fatto che la probabilità di avere 6 ragazze su 6 nascite dal binomio è molto meno probabile di 3 ragazze (0,015625 vs 0,3125)?

La probabilità di 3 ragazze è la probabilità di bbbggg, bbgbgg, bbggbg, bbgggb, bgbbgg, bgbgbg, bgbggb, gbbbgg, gbbgbg, gbbggb, bgggbb, bggbgb, bggbbg, gbggbb, gbgbgb, gbgbg, gbbgb. Ciascuno di questi 20 ha una probabilità di 0,015625 individualmente e per ottenere uno di questi hai una probabilità di 0,3125.

Queste 3 sequenze sono ugualmente probabili?

BBBGGG GGGGGG BGBBGB

Intuitivamente non la pensiamo così, però ...

Posso vedere due ragioni per cui rendiamo diverse queste valutazioni di GGGGGG e BGBBGB:

Microstati e macrostati

Ci sono molti più modi per ottenere 3 ragazze oltre alla semplice sequenza BGBBGB.

Per ottenere questa particolare sequenza, è probabile che la sequenza BGBBGB ottenga la sequenza GGGGGGG. Ma quando confronti il ​​numero totale di ragazze e ragazzi, dovresti preoccuparti dell'ordine specifico?

Spesso non si è interessati ai dettagli particolari ma si è invece interessati ai numeri globali. Ad esempio, si è interessati alla probabilità di un particolare numero totale di ragazzi e ragazze, e non in un ordine specifico.

Queste distinzioni tra microstati e macrostati si verificano molto spesso in fisica. Ad esempio, se si fora un pneumatico, molto probabilmente perderà pressione e si svuoterà. Tuttavia, microscopicamente un particolare stato di deflazione potrebbe essere altrettanto probabile quanto un particolare stato di rimanere pieni.

Probabilità inversa

Indirettamente, quando stiamo "analizzando" una particolare sequenza binaria, non stiamo solo osservando la probabilità di quella sequenza, ma piuttosto la probabilità relativa . Questo perché spesso non siamo direttamente interessati alla probabilità dell'osservazione (non in primo luogo e solo indirettamente) ma invece siamo interessati a ciò che l'osservazione racconta sui parametri sconosciuti sottostanti. E le osservazioni con uguale probabilità (data una particolare ipotesi) possono ancora raccontare una storia diversa (perché non hanno necessariamente la stessa probabilità per altre ipotesi). Non si tratta della differenza di probabilità per diverse osservazioni, ma della differenza di probabilità (o rapporto di verosimiglianza ) per diversi valori di parametro.

Se i parametri di probabilità per ragazzi e ragazze sono uguali $p_{boy}=p_{girl}=0.5$quindi l'osservazione GGGGGG non è né meno né più improbabile dell'osservazione BGBBGB. Tuttavia l'osservazione GGGGGG si distingue ancora come un'osservazione speciale perché è relativamente più probabile quando$p_{girl}$è più alto. L'osservazione GGGGGG è più probabile quando$p_{girl}>p_{boy}$ di quando $p_{girl}=p_{boy}$, e quindi lo individuiamo come un caso speciale.

Quindi alla fine stiamo più spesso confrontando / valutando quelle sequenze per mezzo di rapporti di verosimiglianza.

Di seguito è riportato un esempio di probabilità per il caso di un campione ordinato di 5 ("theta" è qui la probabilità di una "b"). Puoi vedere che solo il numero totale è rilevante (e non l'ordine) per la probabilità (questo si riferisce alla sufficienza ).

observation        probability of observing given theta

bbbbb              (1-theta)^0(theta)^5

rbbbb              (1-theta)^1(theta)^4
brbbb              (1-theta)^1(theta)^4
bbrbb              (1-theta)^1(theta)^4
bbbrb              (1-theta)^1(theta)^4
bbbbr              (1-theta)^1(theta)^4

rrbbb              (1-theta)^2(theta)^3
rbrbb              (1-theta)^2(theta)^3
rbbrb              (1-theta)^2(theta)^3
rbbbr              (1-theta)^2(theta)^3
brrbb              (1-theta)^2(theta)^3
brbrb              (1-theta)^2(theta)^3
brbbr              (1-theta)^2(theta)^3
bbrrb              (1-theta)^2(theta)^3
bbrbr              (1-theta)^2(theta)^3
bbbrr              (1-theta)^2(theta)^3

rrrbb              (1-theta)^3(theta)^2
rrbrb              (1-theta)^3(theta)^2
rbrrb              (1-theta)^3(theta)^2
brrrb              (1-theta)^3(theta)^2
rrbbr              (1-theta)^3(theta)^2
rbrbr              (1-theta)^3(theta)^2
brrbr              (1-theta)^3(theta)^2
rbbrr              (1-theta)^3(theta)^2
brbrr              (1-theta)^3(theta)^2
bbrrr              (1-theta)^3(theta)^2

brrrr              (1-theta)^4(theta)^1
rbrrr              (1-theta)^4(theta)^1
rrbrr              (1-theta)^4(theta)^1
rrrbr              (1-theta)^4(theta)^1
rrrrb              (1-theta)^4(theta)^1

rrrrr              (1-theta)^5(theta)^0