Topologicamente equivalente

Question

È possibile avere metriche topologicamente equivalenti con diverse sequenze di Cauchy? Ci sono esempi reali? O di solito producono le stesse sequenze di Cauchy?

Answer 1

Su $\Bbb R$, la metrica $d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$ definisce la stessa topologia su $\Bbb R$come metrica standard. Sotto$d$, la sequenza data da $x_n=n$ è Cauchy, ma ovviamente non sotto la metrica standard.