Verifica della prova: Path Connected implica Connected

Question

Permettere$(M,d)$essere uno spazio metrico, che è connesso al percorso. Aggiustare $p \in M$. Adesso,$\forall q \in M-\{p\}$,$\exists f_q:[a,b] \rightarrow M$insieme a$f_q(a)=p$e$f_q(b)=q$, e$f_q$è continuo. Chiama ciascuno di loro$[a,b]$un intervallo di dominio , che non è univoco.

Permettere$\{I_q| q \in M-\{p\}\}$essere una raccolta di tali intervalli di dominio (notare che tale raccolta non è univoca). Ora, usando il fatto che$I_q$è connesso per ciascuno$q \in M-\{p\}$, e il fatto che le funzioni$f_q$sono continui,$f_q(I_q)$deve essere anche collegato. Inoltre, l' intersezione di$f_q(I_q)$terminato$q \in M-\{p\}$non è vuoto, come$p$deve appartenere a questo incrocio. Quindi, la loro unione deve essere connessa. Adesso,$\forall q \in M-\{p\}$,$f_q(I_q) \subset M$per definizione di$f_q$. Anche,$\forall q \in M-\{p\}$,$q \in f_q(I_q)$, sempre per definizione. Ovviamente,$p \in f_q(I_q )$ $\forall q \in M-\{p\}$anche. Così,$\bigcup\limits_{q \in M-\{p\}} f_q(I_q) = M$e$M$è connesso$\blacksquare$

Answer 1

$X$è connesso se per ciascuno$x,y \in X$esiste un sottospazio connesso$C(x,y)\subseteq X$tale che$x,y \in C(x,y)$.

Da sinistra a destra è banale, possiamo prendere$C(x,y)=X$sempre. Da destra a sinistra: supponiamo$X$non è connesso mentre il lato destro tiene, scrivi$X=A \cup B$dove$A,B$sono disgiunti, non vuoti ed entrambi aperti. Scegliere$a \in A, b \in B$e per il$C(a,b)$che esiste, notalo$C(a,b) = (A \cap C(a,b)) \cup (B \cap C(a,b))$, così che$C(a,b)$non è connesso, il che è una contraddizione. Così$X$è connesso.

(Avrei anche potuto dimostrare, come nella tua proposta di prova che (per alcuni fix$p \in X$), Quello$$X= \bigcup\{ C(p,a): a \in X\}$$che è un'unione di sottospazi connessi che si intersecano tutti$p$e quindi è connesso, ma questo necessita di un teorema in più, mentre il precedente necessita solo della definizione di connessione).

Ora, si noti che il lato destro è facilmente soddisfatto per uno spazio connesso al percorso: se$f:[a,b] \to X$è un percorso da$x$a$y$, utilizzo$C(x,y)=f[[a,b]]$, che è collegato come$f$è continuo e$[a,b]$è sempre connesso.

Answer 2

Corretta.

Un altro modo per dimostrarlo è provare le false implicazioni contrarie. Quindi non connesso implica non percorso connesso. Facile se lo presumi$M$è collegato al percorso. Lo dimostri, da allora$M$non è connesso ci sono punti appartenenti a diverse componenti connesse che non sono "raggiungibili" da percorso continuo (come hai detto tu l'immagine sarebbe connessa) e quindi questo è un assurdo .

Answer 3

Supporre che$M$non è connesso.

Quindi insiemi disgiunti aperti non vuoti$A,B$esistere con$A\cup B=M$.

Per ogni continuo$f:[a,b]\to M$l'immagine$f([a,b])$è connesso, quindi deve essere un sottoinsieme di$A$o un sottoinsieme di$B$.

Quindi se$p\in A$e$q\in B$un percorso di collegamento$p$e$q$non esiste.

Lo concludiamo$M$non è connesso al percorso.