Volume della piramide a base poligonale

Question

Ho letto in un libro alcuni mesi fa che il volume di una piramide (solida) con una base che è QUALSIASI poligono (non sono sicuro che abbia menzionato che è regolare o meno) è uguale a $$\frac{1}{3}\times A\times h$$ dove $A$ è l'area della base (cioè del poligono) e $h$ è l'altezza della piramide.

Questo sembra essere vero in molti casi, come quando la base è un quadrato, un triangolo e quando la base è un cerchio (cioè la piramide diventa un cono).

La mia domanda è: come possiamo dimostrarlo? Semplicemente non ne ho idea.

Grazie per l'aiuto.

Answer 1

Qualsiasi poligono può essere scomposto in triangoli, dando $A = A_1 + \cdots + A_n$.

Quindi, $$\begin{align} V &= V_1 + \cdots + V_n\\ &=\frac13A_1h + \cdots + \frac13A_nh\\ &=\frac13(A_1 + \cdots + A_n)h\\ &=\frac13Ah. \end{align}$$

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Per il case base, puoi scomporre un prisma in questo modo. Per vedere che le tre piramidi hanno lo stesso volume, nota che le piramidi sinistra e centrale condividono una base blu e hanno la stessa altezza; allo stesso modo, le piramidi centrale e destra condividono una base rossa e hanno la stessa altezza.

Answer 2

Per il caso più generale in cui la base non deve nemmeno essere un poligono, si tratta di un'applicazione del Principio di Cavalieri . Immagina una piramide con una base a forma di blob e una piramide quadrata accanto ad essa con la stessa altezza e la cui base ha la stessa area di quella della prima piramide. Poiché qualsiasi sezione trasversale di livello delle due piramidi dovrebbe avere la stessa area, anche i volumi devono essere uguali.

C'è un'immagine meravigliosa che mostra che l'area di una piramide quadrata la cui altezza è uguale alla sua dimensione di base e il cui apice è sopra un angolo della base è 1/3 del volume di un cubo unitario. Per farla breve, puoi costruire tre di quelle piramidi e vedere che possono essere combinate per formare un cubo unitario. Da lì, l'unico passo rimanente è convincersi che il volume di una piramide la cui base è un quadrato unitario è direttamente proporzionale all'altezza della piramide. A quel punto, lo hai dimostrato da una piramide quadrata unitaria con altezza unitaria a una piramide quadrata unitaria di altezza arbitraria a una base arbitraria e un'altezza arbitraria.