Volume diverso utilizzando metodi shell e disco

Question

È da un po 'che cerco di trovare il mio errore, ma non riesco a trovarne uno. Forse mi manca un buco che è presente?

Ho provato il volume della regione delimitata tra $x=1$, $x=3$ e una funzione lineare $y=x-1$, anche $x = 0$ ruotando quella regione intorno al $y$-asse. Il mio primo tentativo è stato quello di utilizzare il Disk Method, definito come

$\begin{align}V=\displaystyle{\pi \int_{y_1}^{y_2}}(f(y))^2dy=\displaystyle{\pi \int_{0}^{2}}(y+1)^2dy=\dfrac{26}{3}\pi\end{align}$

Ho quindi tentato di risolvere questo problema utilizzando il metodo Shell e ho ottenuto una risposta diversa:

$V=\displaystyle{2\pi \int_{x_1}^{x_2}xf(x)dx}=2\pi\int_{1}^{3}x(x-1)dx=\dfrac{28}{3}\pi$

Ho cercato di trovare il mio errore per un po ', provando diverse calcolatrici e WolframAlpha, ma non riesco a farlo bene, forse mi manca qualche concetto essenziale? Mi scuso se la mia formattazione non sembra buona, poiché questa è la mia prima domanda qui.

Apprezzerei se qualcuno potesse indicarmi la giusta direzione.

Answer 1

Il metodo del disco è disattivato. Funziona quando la regione si trova contro$y$-asse. È allora che puoi tagliare il solido della rivoluzione in dischi e trovare il loro volume come cilindri piatti.

La tua regione, tuttavia, è suddivisa in cosiddette rondelle (fai una ricerca di immagini per "hardware della lavatrice" e probabilmente otterrai molte immagini di come appaiono; un'altra analogia visiva comune è una moneta con un buco in essa) . E il volume di una rondella si trova meglio riempiendo il foro, calcolare il volume del disco risultante, quindi sottrarre il volume del foro. Questo aggiorna il metodo del disco al metodo della lavatrice.

Il raggio esterno delle rondelle è $3$e il raggio interno è $y+1$. Vale a dire, l'integrale dovrebbe davvero essere$$ \pi\int_0^2\big(3^2-(y+1)^2\big)dy $$

Answer 2

Con il metodo del disco abbiamo

$$V=\pi \int_{0}^{2}\left[3^2-(f(y))^2\right]dy=\pi \int_{0}^{2}(8-y^2-2y)dy=\frac{28}{3}\pi$$

Disegna uno schizzo aereo per il volume per vedere perché è sbagliato l'altro modo.