Weil Restriction e Distinguished Open
Ho un paio di domande correlate su Weil Restriction. Permettere$E/F$ essere un'estensione di campo e lascia $A$ fagiolo $E-$algebra. Supponiamo che esistano tutte le restrizioni rilevanti degli scalari. Abbiamo una mappa delle norme$n: A \rightarrow RA$. Vorrei dimostrarlo per$f \in A$ noi abbiamo $R(A_f) \simeq (RA)_{n(f)}$ (questo è il problema 11.4.7 (6) nei gruppi algebrici lineari di Springer).
Usando la funtorialità, data la mappa $A \rightarrow A_f$, abbiamo una mappa indotta $RA \rightarrow R(A_f)$ e da allora $n(f) \in RA$ è mappato a qualcosa di invertibile in $R(A_f)$, dalle proprietà universali, il morfismo $RA \rightarrow R(A_f)$ fattori attraverso $(RA)_{n(f)} \rightarrow R(A_f)$. Tuttavia, non sono sicuro di come procedere qui.
Una prospettiva più unificata qui è probabilmente data dai funtori dei punti e dal pensiero relativamente. Quindi qui, lavorando su uno schema di base$S' \rightarrow S$, per un $S$-schema $Y$ e un $S'$-schema $X$ noi abbiamo
$Hom_{S'}(Y \times_S S', X)=Hom_S(Y, \Pi_{S'/S}X).$
Inoltre, in questa impostazione, sappiamo che l'assunzione di restrizioni degli scalari commuta con il cambio di base. Quindi la mia domanda è; qual è la formulazione schematica della domanda precedente? Permettere$X=Spec(A)$ fagiolo $S'$schema. Quindi la mia impressione è che il diagramma del cambiamento di base per la localizzazione sarebbe$Spec(A_f) \times_{S'} Spec(A)$.
Quindi con un semplice argomento, abbiamo
$\Pi_{S'/S}(Spec(A_f) \times_{S'} Spec(A)) \simeq \Pi(Spec(A_f)) \times_{\Pi(S')} \Pi(Spec(A))$.
Anche se sembra vicino, non riesco a capire se questo è l'analogo corretto dell'affermazione sopra. Inoltre qui sembra che io non introduca affatto la mappa delle norme, o usi proprietà universali sulla localizzazione, quindi non sono sicuro di me stesso.
Per favore fatemi sapere se avete commenti o se devo chiarire qualcosa.
Risposte
$\newcommand{\Res}{\mathsf{Res}}$ $\newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}}$$\ newcommand {\ Hom} {\ mathrm {Hom}} $
Vorrei dirti un modo di pensare a questo che penso sia istruttivo. Spero che ti senta allo stesso modo anche se, molto probabilmente, è al di fuori dell'ambito di ciò di cui Springer sta effettivamente discutendo.
Per semplicità, supponiamo che $ E / F $ sia Galois e indichiamo con $ \ Gamma $ il gruppo $ \ mathrm {Gal} (E / F) $ e denotiamo un elemento generale di $ \ Gamma $ per $ \ sigma $ o $ \ tau $ .
Cominciamo definendo per ogni $ \ sigma $ in $ \ Gamma $ l' algebra $ E $
$$ A ^ \ sigma: = A \ otimes_ {E, \ sigma} E $$
dove questa notazione significa che stiamo prendendo il prodotto tensoriale di $ E $ -algebre dove $ E \ to A $ è la mappa della struttura e $ E \ to E $ è la mappa data da $ \ sigma $ . Consideriamo questa un'algebra $ E $ definendo $ e (a \ otimes b): = a \ otimes (eb) $ .
Notiamo che abbiamo una mappa di $ F $ -algebre
$$ \ sigma: A \ to A ^ \ sigma: a \ mapsto a \ otimes 1 $$
Nota però che questa mappa non è $ E $ -linear. Infatti,
$$ \ sigma (ea) = (ea) \ otimes 1 = a \ otimes \ sigma (e) = \ sigma (e) (a \ otimes 1) $$
quindi $ \ sigma: A \ to A ^ \ sigma $ è $ \ sigma $ -linear.
Consideriamo ora la $ E $ -algebra
$$ A ^ {\ otimes \ Gamma}: = \ bigotimes _ {\ sigma \ in \ Gamma_F} A ^ \ sigma $$
dove il prodotto tensore sul lato destro è un prodotto tensore di $ E $ -algebre. Indicheremo un tensore semplice generale in $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ con $ \ displaystyle \ bigotimes a_ \ sigma $ (cioè la $ \ sigma ^ \ text {th} $ -coordinata nel tensore semplice è $ a_ \ sigma $ ). Nota che $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ porta una naturale azione $ \ Gamma $ permutando le coordinate o, più esplicitamente,
$$ \ tau \ left (\ bigotimes a_ \ sigma \ right) = \ bigotimes b_ \ sigma, \ qquad b _ {\ tau \ sigma} = a_ \ sigma $$
Notare che l'azione di $ \ Gamma $ non è $ E $ lineare, ma $ F $ -lineare.
Consideriamo ora $ F $ -algebra $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} $ - i punti fissati $ \ Gamma $ di $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ . Abbiamo un'ovvia inclusione di $ F $ -algebre
$$ \ iota: (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ hookrightarrow A ^ {\ otimes \ Gamma} $$
Meno evidente è il fatto che la mappa indotta di $ E $ -algebre
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ otimes_F E \ to A ^ {\ otimes \ Gamma}: x \ otimes e \ mapsto ex $$
è un isomorfismo di $ E $ -algebre. Infatti, è in realtà un isomorfismo di $ E $ -algebre con un'azione di $ \ Gamma $ dove $ \ Gamma $ agisce sulla sorgente con la sua azione su $ E $ !
Perché $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ o $ (A ^ {\ otimes {\ Gamma}}) ^ {\ Gamma} $ è importante? Bene, nota che per ogni $ F $ -algebra $ R $ la mappa ovvia
$$ \ Hom_F \ sinistra ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ destra) \ a \ Hom_E \ sinistra ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} $$
è una biiezione in cui si attiva l'azione $ \ Gamma $
$$ \ Hom_E \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ right) $$
prende un omomorfismo $ \ alpha $ a $ \ sigma \ circ \ alpha \ circ \ sigma ^ {- 1} $ dove $ \ sigma ^ {- 1} $ agisce su $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E $ per la sua azione su $ E $ e l'azione di $ \ sigma $ su $ R \ otimes_F E $ agisce anche per $ E $ .
Ma abbiamo già notato che abbiamo un isomorfismo
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ otimes_F E \ to A ^ {\ otimes \ Gamma}: x \ otimes e \ mapsto ex $$
di $ E $ -algebre con $ \ Gamma $ -azione. Quindi, lo vediamo
$$ \ Hom_E \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} = \ Hom_E \ left (A ^ {\ otimes \ Gamma} , R \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} $$
ma cos'è una mappa $ \ Gamma $ -equivariante di $ E $ -algebre $ A ^ {\ otimes \ Gamma} \ a R \ otimes_F E $ ? Bene, per la definizione di prodotto tensoriale superiore a $ E $ , è una raccolta di mappe di $ E $ -algebre
$$ f_ \ sigma: A ^ \ sigma \ in R \ otimes_F E $$
dove abbreviamo $ f _ {\ mathrm {id}} $ in $ f $ in modo tale che per ogni collezione $ a_ \ sigma \ in A ^ \ sigma $ hai
$$ f_ \ sigma (a_ \ sigma) = \ sigma (f (a)) $$
In altre parole, vedi che tali dati sono interamente determinati da $ f $ .
In altre parole, riassumendo tutto, c'è una serie naturale di biiezioni
$$\begin{align}\Hom_F\left((A^{\otimes\Gamma})^\Gamma,R\right) &= \Hom_E\left((A^{\otimes\Gamma})^\Gamma\otimes_F E,R\otimes_F E\right)^\Gamma\\ &= \Hom_E(A^{\otimes\Gamma},R\otimes_F E)^\Gamma\\ &= \Hom_E(A,R\otimes_F E)\end{align}$$
o, in altre parole, lo abbiamo dimostrato
$$ \ Res_ {E / F} \ Spec (A) = \ Spec \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ right) $$
Più esplicitamente abbiamo una biiezione
$$ J: \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ xrightarrow {\ approx} \ Hom_E (A, R \ otimes_F E) $$
dato prendendo $ f $ in $ (f \ otimes 1) \ mid_A $ .
Ora, cosa c'entra questo con la mappa normale? Notare che abbiamo una mappa moltiplicativa
$$ N: A \ to A ^ {\ otimes \ Gamma}: a \ mapsto \ bigotimes \ sigma (a) $$
che chiamiamo mappa delle norme . Nota che questa mappa non è additiva ma ha un'immagine in $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $ .
Quindi, se $ a \ in A $ allora $ N (a) \ in (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $ . Data la nostra discussione di cui sopra è ora facile verificarlo
$$ \ Res_ {E / F} (D (a)) = D (N (a)) $$
In effetti, cos'è una mappa di schemi $ F $
$$ \ Spec (R) \ a D (N (a)) $$
ma una mappa di $ F $ -algebre
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ a R $$
tale che $ N (a) $ si associ a un'unità. Che cos'è una mappa di schemi $ E $
$$ \ Spec (R \ otimes_F E) \ a \ Spec (A) $$
ma una mappa di $ E $ -algebre
$$ A \ a R \ otimes_F E $$
Nota quindi che sotto la nostra biiezione di cui sopra
$$ \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ xrightarrow {\ approx} \ Hom_E (A, R \ otimes_F E) $$
lo si vede
$$ f (N (a)) = J (f) (a) $$
e quindi $ f (N (a)) $ è un'unità se e solo se $ J (f) (a) $ è. Questo è esattamente ciò che vogliamo.
Lasciatemi dire un'ultima parola su quale sia la relazione tra la mappa delle norme
$$ N: A \ a (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $$
e versioni più familiari della mappa delle norme. Vale a dire, supponiamo che ci sia qualche $ F $ -algebra $ B $ tale che $ A = B \ otimes_F E $ . Quindi, notiamo che abbiamo un isomorfismo di $ E $ -algebre
$$ A ^ \ sigma = B \ otimes_F E \ otimes_ {E, \ sigma} E \ to A = B \ otimes_F E: (b \ otimes e_1) \ otimes e_2 \ mapsto b \ sigma (e_1) e_2 $$
Con questo, si può dimostrare che esiste un isomorfismo di $ E $ -algebre
$$ A ^ {\ otimes \ Gamma} \ cong B \ otimes_E E ^ {\ otimes \ Gamma} \ cong A \ otimes_E (E ^ {| \ Gamma |}) \ cong B ^ {| \ Gamma |} $$
Inoltre, non è difficile verificare quindi che la mappa naturale
$$ B \ a (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $$
è un isomorfismo. Quindi, vediamo che la mappa della norma è una mappa
$$ N: B \ otimes_F E = A \ to (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma = B $$
Ora, che $ x \ in B \ otimes_F E $ agisca a sinistra di $ B \ otimes_F E $ per moltiplicazione a sinistra denota $ \ ell_x $ . Poiché $ B \ otimes_F E $ è un $ B $ -modulo libero di rango finito, si può considerare $ \ det (\ ell_x) \ in B $ . Quindi, sotto le identificazioni di cui sopra, si ha che $ N (x) = \ det (\ ell_x) $ .