$X^\omega$ è separabile se $X$ è separabile
Come si dovrebbe interpretare la seguente dimostrazione:
Non ne ho la prova $X^\omega$ (sotto la topologia del prodotto) è separabile se $X$è separabile. In effetti, non sono sicuro di quale topologia$X$dovrebbe avere. Il contesto è spazi polacchi. Forse qualcuno con più esperienza nella teoria descrittiva degli insiemi riconosce ciò che mi manca qui?
Risposte
Non importa quale sia la topologia $X$è, purché sia separabile. Un set aperto di base$B$ nel ${^\omega}X$ ha la seguente forma: ci sono un finito $F\subseteq\omega$ e set aperti $U_k$ nel $X$ per ciascuno $k\in F$ tale che
$$B=\left\{\bar x\in{^\omega}X:\bar x_k\in U_k\text{ for each }k\in F\right\}\,.$$
La famiglia $\{z_n:n\in\omega\}$ è denso $X$, quindi per ciascuno $k\in F$ C'è un $n(k)\in\omega$ tale che $z_{n(k)}\in U_k$.
Il set $B_0=\left\{f\in{^\omega}\omega:f(k)=n(k)\text{ for each }k\in F\right\}$ è un open set di base nello spazio Baire ${^\omega}\omega$, e $D$ è denso ${^\omega}\omega$, così $f\in B_0\cap D\ne\varnothing$. Permettere$f\in B_0\cap D$; poi$\bar z_f(k)=z_{f(k)}=z_{n(k)}$ per ciascuno $k\in F$, così $\bar z_f\in B$.
Pertanto, ogni apertura di base viene inserita ${^\omega}X$ contiene un membro dell'insieme numerabile $\{\bar z_f:f\in D\}$, e ${^\omega}X$ è quindi separabile.
Sospetto che la fonte della confusione sia l'introduzione dello spazio Baire nel corso dell'argomento, che se letto rapidamente suggerisce che $X$si presume che in qualche modo sia correlato allo spazio Baire. Ma non è così: lo spazio Baire funziona in realtà solo come uno "strumento di contabilità" per fornire una descrizione concreta della costruzione di un sottoinsieme denso numerabile di$X^\omega$ da un sottoinsieme denso numerabile di $X$.
Se vuoi, possiamo sbarazzarci di qualsiasi menzione dello spazio Baire come segue (sebbene l'argomento sia davvero identico) . Supponiamo$U\subseteq X^\omega$è un insieme aperto di base (non vuoto). Poi$$U=\prod_{i\in\omega} V_i$$ per alcune sequenze di set aperti $(V_i)_{i\in\omega}$tale che tutti tranne finitamente molti dei file$V_i$sono solo $X$stesso .$^1$ Correggi un sottoinsieme denso numerabile $\{x_j:j\in\omega\}$ di $X$. Quindi ad ogni apertura di base$U$ possiamo assegnare un "elemento canonico" $$x_U=(y_{\min\{n: x_n\in V_i\}})_{i\in\omega},$$ questo è il $i$coordinata del nostro elemento scelto di $U$è il più piccolo possibile. Per costruzione abbiamo$x_U\in U$. Inoltre, poiché tutti ma finitamente molti dei file$V_i$sono tutti $X$, noi abbiamo $y_i=x_0$ per tutti ma finitamente molti $i\in\omega$.
Ma ci sono solo molte sequenze numerabili di numeri naturali che alla fine sono tutti zeri. Ciò significa che il set$$E=\{x_U: U\mbox{ nonempty basic open}\}$$è numerabile , indipendentemente da quanti set aperti di base ci sono. E poiché ogni set aperto di base contiene un elemento di$E$, il set $E$ è denso $X^\omega$. Quindi abbiamo finito.
(Questo è esattamente lo stesso dell'argomento sopra, ma con la scelta esplicita di $D$ come l'insieme di tutte le sequenze di numeri naturali alla fine zero.)
$^1$Si noti che è fondamentale utilizzare qui la topologia del prodotto , anziché della scatola . Ovviamente il$\omega$La potenza della scatola di uno spazio non deve essere separabile. Ad esempio, let$\mathcal{R}$ essere il $\omega$th box potenza di $\mathbb{R}$ con la solita topologia e per ogni insieme numerabile $A=\{(r_i^j)_{i\in\omega}: j\in\omega\}$ di punti in $\mathcal {R}$ considera il non vuoto $\mathcal{R}$-base open set $$\prod_{k\in\omega}(r^i_i, r^i_i+1).$$ Questo è un set aperto non vuoto che non contiene nessuno dei punti in $A$.